垂径定理课件.ppt

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1、2、如图，找出⊙O的直径、非直径的弦，及优弧、劣弧。OBADC直径：AB非直径的弦：CD优弧:CAD⌒劣弧:CD、AD、AC、BD、BC⌒⌒⌒⌒⌒1、回忆圆的有关概念：圆、直径、弦、弧等问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境BODACR已知CD⊥AB，AB=37.4m，CD=7.2m，求OA?要解决此问题，首先应探究垂直于弦的直径与弦之间有怎样的关系？24.1.2垂

2、径定理实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．活动一OBADC如果在⊙O上作弦AB⊥CD，垂足为E，将⊙O沿着CD翻折，你会得到什么结论？E如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半

3、圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒则：直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分ＡＢ　及　ＡＣＢ⌒⌒·OABCDE几何语言：∵CD是⊙O直径，CD⊥AB，垂足为E∴ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒已知AB是⊙O的一条弦，CD是直径，使CD⊥AB，垂足为E垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．（1）·OABED（2）·CDOABE（3）如图（1）、（2）是否还有相同的结论？平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论若CD是⊙O直径，ＡＥ＝ＢＥ，那么CD⊥AB，ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ吗？⌒⌒⌒⌒OABCD

4、E·连接OA、OB·OCDAB1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习解：答：⊙O的半径为5cm.活动三在Rt△AOE中∵解得：R≈27．9（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4m，CD=7.2m，OD=OC－CD=R－7.2在图中如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C，根据前面的结论，D是AB的中点

5、，C是弧ＡＢ的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒实践应用18.77.2R-7.22．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又　∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.③AE=BE,由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,由①CD是直径③AE=BE⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得ＤＣＡＢＥＯ用几何语言表达垂径定理推论：小结：2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和

6、BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE即AC＝BD.ACDBOE1.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是=。OABP练一练(1)24mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．变式练习：如图是一条排水管的截面。已知排水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。求水的最大深度.ED求圆中有关线段长通常怎样解决？BAO求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线CD，交

7、弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点．CDABE1.已知，（1）求作这条弧的中点⌒AB画弦的垂直平分线。平分弧的方法：尝试练习：（2）求弧AB的四等分点．变式练习：你能确定弧AB的圆心吗？OABCab只要在圆弧上任意取两条弦，画这两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．确定圆心的方法：变式练习：你能找到原来车轮的圆心吗?结束寄语不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也.