二次函数与面积.doc

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1、二次函数与面积专题仔细观察下列常见图形，说出如何求出各图中阴影部分图形的面积.在以上问题的分析中研究思路为：（1）分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形的计算方法注意：（1）取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边.（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解.（即采用割或补的方法把它分解成易于求出面积的图形）（12分）（2013•玉林）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B、C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明

2、理由；（3）求四边形ABCD的面积。解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=﹣（x﹣1）2+c上，∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得c=4，∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4，令x=0，得y=3，∴C（0，3）；令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）．（2）△CDB为直角三角形．理由如下：由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）．如答图1所示，过点D作DM⊥x轴于点M，则OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．过点C作CN⊥DM于点N，则CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC===；在Rt△CND中，由勾股定理得：C

3、D===；在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD===．∵BC2+CD2=BD2，∴△CDB为直角三角形（勾股定理的逆定理）(3)略(2009年牡丹江市)如图二次函数的图象经过和两点，且交轴于点．（1）试确定、的值；（2）过点作轴交抛物线于点点为此抛物线的顶点，试确定的形状．0xyABC（2013牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式．（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是

4、x=﹣．22．解：（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y=x2+bx+c得：16﹣4b+c=﹣3，c﹣4b=﹣19，∵对称轴是x=﹣3，∴﹣=﹣3，∴b=6，∴c=5，∴抛物线的解析式是y=x2+6x+5；（2）∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x=﹣3对称，∵点C在对称轴左侧，且CD=8，∴点C的横坐标为﹣7，∴点C的纵坐标为（﹣7）2+6×（﹣7）+5=12，∵点B的坐标为（0，5），∴△BCD中CD边上的高为12﹣5=7，∴△BCD的面积=×8×7=28．23、（2009仙桃）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛

5、物线交于点P，点A的坐标为(0，2)，AB＝4．(1)求抛物线的解析式；(2)若S△APO＝，求矩形ABCD的面积．（2013哈尔滨，24，6分）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O，已知AB=8米，设抛物线解析式为y=ax2-4．(1)求a的值；(2)点C(-1,m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD、BC、BD，求△BCD的面积．【答案】解：(1)∵AB=8，由抛物线的对称性可知OB=4，∴B(4,0)，0=16a-4，∴a=．(2)过点C

6、作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，∵a=，∴y=x2-4.令x=-1，∴m=×(-1)2-4=-,∴C(-1,-).∵点C关于原点对称点为D，∴D(1，)，∴CE=DF=，S△BCD=S△BOD+S△BOC=OB·DF+OB·CE=×4×+×4×=15．∴△BCD的面积为15平方米．24．（2013•佛山）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）

7、．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．3338333分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物