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《知识讲解 导数的计算 基础(1).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数的计算【学习目标】1.牢记儿个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。2.熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。3.能熟练运用四则运算的求导法则，4.理解复合函数的结构规律，棠握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”.【要点梳理】知识点一：基本初等函数的导数公式(1)/(x)=C(C为常数),fx)=O(2)/(兀)=兀"(n为有理数),fx)=n-(3)f(x)=sinx,fx)=cosx(4)/(x)=cosx,f=-sinx(5)f(x)=ex,f*(x)=ex(6)f(兀)=ax，厂(x)=axIna(7)/(x)=lnx,fx)=-x(8)/(x)
2、=logflx,fx)=-logaeo要点诠释：1.常数函数的导数为0,即C'=0(C为常数).其几何意义是曲线/(%)=C(C为常数)在任意点处的切线平行于x轴.2.有理数幕函数的导数等于幕指数n与自变量的(n-1)次幕的乘积，即(£)'=处(neq).特别地—'—7，(V-^)'—/=o(兀丿f2y/x3.正弦函数的导数等于余弦函数，即(sinx)'=cosx.4.余弦函数的导数等于负的正弦函数，即(cosx)'=-sinx.5.指数函数的导数：(/)=aTno,(exY=ex.6.对数函数的导数：(log“x)=丄log/,(In兀)=丄.XX有时也把(logttx)*=-
3、logde记作：(logM二一xxln^z以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可.知识点二：函数的和、差、积、商的导数运算法则:(1)和差的导数：L/(Q±g(x)」=fG)±gG)(2)积的导数:[/(x).g(x)]•=f-(x)g(x)+f(x)gx)（3）商的导数:(g⑴HO)[/(x)],=广O)・g(x)-/O)・gG)gOO[gO)F要点诠释：1.上述法则也可以简记为:（i）和（或差）的导数：（M±y）'=d±『,推广:(u}±u2±--±un)'=u±u'2±--±u'n.(ii)积的导数:(w-v)'=w'v+wv',特别地：（s）'=cd（c为常
4、数）.（iii）商的导数:liv-uv'两函数商的求导法则的特例/（兀），f'Mg（x）一/（兀）g'（X）(g(x)HO),g(兀)当/（兀）g2(x)孕（g”o）旷（尢）这是一个函数倒数的求导法则.2.两函数积与商求导公式的说明(1)类比：(wv)1=uv+uv","」二"〔（vHO）,注意差异，加以区分./、Utd口(U‘工一且■V（2）注意:u'v+uv'y2(vHO).3.求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商•或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量.知识点三：复
5、合函数的求导法则1.复合函数的概念对于函数y=,令u=(p(x),则y=/(w)是中间变量u的函数，u=(p(x)是自变量x的函数，则函数y=/[0(兀)]是自变量x的复合函数.要点诠释：常把u=(p(x)称为“内层”，y=称为“外层”。2.复合函数的导数设函数“=0(兀)在点x处可导,u'v=(px),函数y=f(u)在点x的对应点u处也可导y'u=fu),则复合函数y=f[(p(x)]在点x处可导,并且或写作f'x[(p(x)]=掌握复合函数的求导方法(1)分层：将复合函数y=分出内层、外层。(2)各层求导:对内层u=(p(x),外层y=f(u)分别求导。得到0(兀),f
6、u)(3)求积并回代：求出两导数的积：广(〃)・0(兀)，然后将弘用0(对替换，即可得到y=f[(p(x)]的导数。要点诠释：1.整个过程可简记为分层一一求导一一回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合,可以相应地多次用屮间变量。2.选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。【典型例题】类型一：求简单初等函数的导数例1・求下列函数的导数：(1)X3⑵丄(3)Vx(4)y=sinx(5)x【解析】(1)(/)'=3x_1=3/；(Vx)，=(x2)，=—X2(2)(厶)‘=(厂)'=一2厂亠―2厂1-
7、1=—尤-=一产22y[x=(sinx)'=cosx；【点评】(1)用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度。(1)准确记忆公式。(2)根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幕的形式。举一反三：【变式】求下列函数的导数：(l)y二丄(2)y=Vx(3)y=2x3-3x2+5x+4(4)y=log.-log.x；【答案】(1)二(丄)'二(厂)'=-3x_3_，=-B^4(2y-(Vx)z=(x3y=1=g兀
