空间向量及运算(习案）.doc

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1、空间向量及运算知识梳理：1．空间向量(1)向量是既有大小又有方向的量，向量的模是正数或0，是可以进行比较大小的．由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的，比如可以说

2、a

3、>

4、b

5、，但不能说a>b.(2)在空间，单位向量、向量的模、相等的向量和相反向量等概念与平面向量中相对应的概念完全一致．2．向量的三角形法则和平行四边形法则的要点是：对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．3．空间向量的数乘运算空间向量数乘运算的结果仍是一个向量，可以根据定义来判断它的方向和大小．向量a的模可以扩大(当

6、

7、λ

8、>1时)，也可以缩小(当

9、λ

10、<1时)；向量a的方向可以不改变(当λ>0时)，也可以改变(当λ<0时)．实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．4．共线向量与共面向量．空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线向量定理可分解为以下两个命题：①a∥b⇒存在唯一实数λ使a＝λb；②存在唯一实数λ，使得a＝λb⇒a∥b.对于空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．三个非零向量a，b，c，其中任意两个向量不共线，则它们共面的充要条件：存在三个非零实数l，m，n，使la＋mb＋nc＝0.5.利用数量积求夹角与长度6.设i，j，k是空间三个两两垂

11、直的向量，那么对空间任一向量p，存在一个___有序实数组(x，y，z)，使得_p＝xi＋yj＋zk_，我们称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分向量．7.空间向量基本定理．如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝___xa+yb+zc.8．如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p

12、p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看作是由a，b，c生成的，我们把____________叫做空间的一个基底，_________都叫做基向量．空间任何________________都可构成空间的一个基底．9．设e1，e

13、2，e3为有公共起点O的三个两两相互垂直的单位向量，称它们为8___________．10．在空间选定一个单位正交基底{e1，e2，e3}，以e1，e2，e3的公共起点O为______，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的_________建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平行移动，使它的起点________________，得到一个向量________．由空间向量分解定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得_________________．我们把_______称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作____________．1

14、1．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的________________12．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝________________________；a－b＝________________________；λa＝__________________；a·b＝________________；a∥b⇔______________________________________；a⊥b⇔____________________.练习：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每

15、小题5分，共50分）．图1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（）A．B．C．D．3．已知平行六面体中，AB=4，AD=3，，，，则等于（）A．85B．C．D．5084．与向量平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（－1，－3，2）[来源:学

16、科

17、网Z

18、X

19、X

20、K]C．（－，，－1）D．（，－3，－2）5．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量的夹角是（）A．0B．C．D．6．已知空间四边形ABCD中，，点M在OA上，且OM=

21、2MA，N为BC中点，则=（）A．B．C．D．7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则DBCD是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定8．空间四边形OABC中，OB=OC，ÐAOB=ÐAOC=600，则cos=（）A．B．C．-D．09．已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知，则的最小值为（）A．B．C．