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1、-1-第四章线性方程组的解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.3非齐次线性方程组解的结构§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理-2-在前面的章节学习中，我们已经研究了线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。-3-§4.1线性方程组解的存在性定理1、非齐次方程组解的存在性定理2、齐次方程组解的存在性定理-4-(4-1)(矩阵形式)(向量形式)(原始形式)-5-一、非齐次方程组解的存在性定理定理4.1.1对于非齐次方程组(4-1)向量可由A的列向量组线性表示。-6-定理4.1.2设的线性方程组的系数行
2、列式Cramer法则则方程组有唯一解,且解为:(4-2)-7-二、齐次方程组解的存在性定理(4-3)(矩阵形式)(向量形式)(原始形式)-8-定理4.1.3对于齐次方程组(1)A的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关推论1当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3)一定有非零解.齐次方程组解的存在性定理-9-定理4.1.4设的线性方程组有非零解(4-4)-10-例：(1)如果非齐次线性方程组有惟一解，则只有零解？(2)如果只有零解，则非齐次线性方程组有惟一解吗？-11-第四章线性方程组的解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.3非齐次线性方程组解的结构§
3、4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理-12-§4.2齐次线性方程组解的结构(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大无关组(又称为基础解系)如何求?齐次方程组(假设有无穷多解)(1)解集的特点?称：-13-性质1：若是(4-3)的解，解空间:的所有解向量的集合S，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。性质2：注：如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。性质推论1而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题(1)-14-设是的解，满足线性无关；的任一解都可以由
4、线性是的一个基础解系。基础解系表示,则称下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题，同时也是定理4.2.1的例证。(取任意实数)从而也是(4-3)的解。-15-通过下面的例子,针对一般的方程组例1回答所提问题.第一步:对系数矩阵A初等行变换化行最简形B从行最简形能得到什么？-16-第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边.右边的又叫自由变量)自由变量的个数=?第三步:令自由变量为任意实数写出通解，再改写成向量形式-17-是解吗?线性无关吗?任一解都可由表示吗?是基础解系吗?基础解系所含向量的个数=?第四步:写出基础解系-18-设是矩
5、阵，如果则齐次线性方程组的基础解系存在，且每个基础解系中含有个解向量。定理4.2.1推论2设是矩阵，如果则齐次线性方程组的任意个线性无关的解向量均可构成基础解系。-19-设,证明证记则由说明都是的解因此移项重要结论推论3-20-例2设,是的两个不同的解向量,k取任意实数,则Ax=0的通解是-21-且线性无关，则_______是AX=O的基础解系。(2),(3)练习1、-22-练习2、求下列线性方程组的基础解系与通解.-23-例3证明设,首先证明利用这一结论证重要结论第四章线性方程组的解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.3非齐次线性方程组解的结构§4.2齐次线
6、性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理-25-§4.3非齐次线性方程组解的结构以下总假设有解,而其对应的齐次方程组的基础解系为这里-26-性质(1)设都是(1)的解,则是(2)的解.(2)设是(1)的解,是(2)的解,则仍是(1)的解.设是(1)的一个解(固定),则对(1)的任一解x是(2)的解,从而存在使得又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.由此得:(3)注：非齐次方程组的解集不是空间。-27-定理4.3.1设是(1)的任一解,则(1)的通解为例4解-28-得齐次方程组的基础解系于是所有通解即得方程组的一个解-29-练习求下列线性方程组的通解.-30
7、-设是非齐次方程组Ax=b的解,则是Ax=0的解是Ax=b的解例5※※-31-例6设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量,且求该方程组的通解.解取,则它就是解,从而也是基础解系.基础解系所含向量个数=4–3=1故非齐次方程组的通解为自学书P.144-145例2、3、5。-32-小结：作业：P1421P1474第四章线性方程组的解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.3非齐次线性方程组解的结构§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理-34-§4.4线性方程组在几何中的应用-35-例7求一个齐次方程组,
