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1、§6线性方程组解的结构主要内容齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构平面间位置关系的讨论三元非齐次线性方程组解的几何意义目录下页返回结束1在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步来讨论线性方程组解的结构.在方程组的解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题.在有多个解的情况下，所谓解的结构就是解与解之间的关系.下面我们将证明，虽然在这时有无穷多解但是全部的解都可以用有限多个解表示出来.这就是本节要讨论的问题和要得到的主要结果.下面的讨论当然都是对于有解的情况说的,这一点就不再每次都说明了.首页上页下页返回结束2一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组它的解是一个
2、n维向量,称之为解向量,解构成的集合，称之为解集.由它的所有首页上页下页返回结束31.解的性质方程组(1)有下面两个重要性质：性质1两个解的和还是方程组的解.证设(k1,k2,…,kn)与(l1,l2,…,ln)是方程组(1)的两个解，则有首页上页下页返回结束4把两个解的和(k1+l1,k2+l2,…,kn+ln)(2)代入方程组，得这说明(2)确实是方程组的解.首页上页下页返回结束5性质2一个解的倍数还是方程组的解.证设(k1,k2,…,kn)是方程组(1)的一个解,c为一常数，因为所以(ck1,ck2,…,ckn)是方程组(1)的解.推论齐次线性方程组(1)的任意有限个解的
3、线性组合还是该方程组的解.首页上页下页返回结束62.解的性质的几何意义我们以3元齐次线性方程组为例来解释这两个性质的几何意义.3元齐次线性方程组中的每个方程表示一个过原点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点而终点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述性质.首页上页下页返回结束73.解的结构问题的提出对于齐次线性方程组，由它的两个性质即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果找到了方程组的几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解
4、是否能够通过它的有限的几个解的线性组合表示出来？这就是当解不唯一时,解与解之间的关系问题(即解的结构).为此，我们引入下面的定义.首页上页下页返回结束84.基础解系的定义定义17齐次线性方程组(1)的一组解1,2,…,t称为(1)的一个基础解系，如果1)(1)的任一解都能表成1,2,…,t的线性组合；2)1,2,…,t线性无关.注:定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.事实上,如果1,2,…,t线性相关，也就是其中有一个可以表成其他的解的线性组合，譬如说,t可以表示成1,2,…,t-1的线性组合,那么,1,2,…,t-1显然也具
5、有性质1).首页上页下页返回结束95.基础解系的存在性与求法齐次线性方程组的基础解系的存在性由下面的定理给出.定理8在齐次线性方程组有非零解的情形下,它有基础解系,并且基础解系所含解的个数等于n-r,这里r表示系数矩阵的秩(n-r也就是自由未知量的个数).证设方程组(1)的系数矩阵A的秩为r,不妨设A的左上角的r级子式不等于零.于是按上一节最后的分析，方程组(1)可以改写成首页上页下页返回结束10如果r=n，那么方程组没有自由未知量,方程组(3)的右端全为零.这时方程组只有零解,当然也就不存在基础解系.以下设r6、n)代入(3),就唯一地决定了方程(3)－也就是方程组(1)的一个解.换句话说,方程组(1)首页上页下页返回结束11的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个解就完全一样.特别地，如果在一个解中，自由未知量的值全为零，那么这个解一定是零解.因此，为了求方程组(1)的n-r个不同的解，在(3)中，令自由未知量xr+1,xr+2,…,xn取下列n-r组数：首页上页下页返回结束12于是就得出方程组(3),也就是方程组(1)的n-r个解:下证，(5)就是一个基础解系.首先证明1,2,…,n-r线性无关.事实上,如果k11+k22+…+kn-rn-r=0,即首页上页下页返回
7、结束13k11+k22+…+kn-rn-r=(*,…,*,k1,k2,…,kn-r)=(0,…,0,0,0,…,0).比较最后n-r个分量，得k1=k2=…=kn-r=0.因此,1,2,…,n-r线性无关.再证明方程组(1)的任意一个解都可以由1,2,…,n-r线性表出.设=(c1,…,cr,cr+1,cr+2,…,cn)(6)首页上页下页返回结束14是方程组(1)的一个解.由于1,2,…,n-r是(1)的解，所以线性组合cr+11+cr+22+…+cnn-r
