数学分析课件3.ppt

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1、第三章数列极限郇中丹2006-2007学年第一学期1基本内容§1数列的基本概念§2数列极限§3数列收敛条件和列紧性2§1.数列的基本概念常用关系式和不等式归纳法和二项式数列的定义和运算数列的有界性无穷小数列无穷小数列举例习题五3常用关系式和不等式对于a,b,cR:1.sn(a)x

2、a

3、-

4、b

5、

6、a+b

7、

8、a

9、+

10、b

11、3.

12、ab

13、=

14、a

15、

16、b

17、,

18、a/b

19、=

20、a

21、/

22、b

23、4.若ab,则a+cb+c5.若ab,c0,则acbc6.infA+infBinfA+BsupA+BsupA+supBinf(-A)=-s

24、upA,其中A={aa

25、aI},B={ba

26、aI}为非空实数集,A+B={aa+ba

27、aI}.-A={-aa

28、aI}.4归纳法和二项式归纳法:验证与自然数有关命题P(n)的程序:(1)证明P(1)成立;(2)假定P(k)或P(j),jk,成立,证明P(k+1)成立;则命题P(n)对任何自然数都成立.例子:(1)二项式公式:一般形式:Bernulli不等式:设x>-1,x0,自然数n>1.则(1+x)^n>1+nx.5数列的定义和运算定义1.映射f:NR叫作实数值数列,简称数列.记号:xn:=f(n)叫作数列的第n项;f有时也记作x1,x2,x3,…,f={xn}或{xn}.例

29、子:常数列、几何数列:xn=ar^n、差分数列:xn=yn-yn+1、部分和数列:xn=y1+…+yn.定义2(级数的算术运算).设f={xn}和g={yn}是两各级数.其算术运算就是通常的数值函数算术运算.fg={xnyn},fg={xnyn},f/g={xn/yn}.6数列的有界性定义3.数列{xn}分别叫作是有上界的、有下界的、或有界的,如果存在常数c,使得nN,分别有xncxnc,或

30、xn

31、c.相应地可以定义无上界的、无下界的、或无界的.定义4.无穷大数列:c>0,{n

32、

33、xn

34、c}有限,验证上:c>0,n0=n0(c),使得n>n0有

35、xn

36、>c;无穷小数

37、列:e>0,{n

38、

39、xn

40、e}有限,验证上:e>0,n0=n0(e),使得n>n0有

41、xn

42、

43、xn

44、}是无穷小数列;(2){xnyn}是无穷小数列;(3){xnyn}是无穷小数列;(4)若{xn}是常数列,则{xn}是零数列.证明:基本论证方式.#命题:实数x=0当切仅当e>0,

45、x

46、e.#这是讨论一些问题时需要用到的常用手段.8无穷小数列举例例1.当

47、q

48、<1时,{q^n}是无穷小数列.只要考

49、虑00.则n>1时,(1+h)^n>1+nh.因此,q^n<1/(1+nh)<1/(nh).以下按定义写.例2.当

50、q

51、<1时,{nq^n}是无穷小数列.同样只考虑00.则n>2时,(1+h)^n>n(n-1)h^2/2.因此,nq^n<2/((n-1)h^2).以下按定义写.9习题五(I)1.证明:2.证明:对于自然数n>0,3.证明:10习题五(II)4.证明:对于任何正实数b,和自然数n>1,存在惟一的正实数a使得a^n=b.这个a叫作b的n次算术方根,记作5.写出一个数列为无上界,无下界,及无界

52、的定义.6.证明书上29页上的三个推论.7.证明下列数列是无穷小数列:11习题五(III)8.思考任意多个无穷小和或积的意义应当是什么?你能够说清楚吗?如果能够讲清楚,相关的与有限和的关系如何?9.根据对于bR,b>0,nN,n>1,存在惟一的正实数a使得a^n=b.记a=b^{1/n}.(1)请定义正实数的有理数次幂,并且证明你定义的有理次幂满足你熟悉的运算律;(2)请证明有理次幂关于幂的单调性;(3)请定义正实数的实数次幂,并证明实数次幂满足同样的运算律和单调性.12§2数列极限数列极限的定义收敛数列的性质几何级数和循环小数收敛数列的序性质举例Stolz定理13数列极限的定义定义:

53、数列{an}叫作收敛的,如果存在LR,使得an=an-L是无穷小数列.也说{an}收敛到或有极限L.记作limnan=L,或anL(n+),读作an当n趋于+时的极限是L.-n0叙述:e>0,n0=n0(e)使得n>n0,有

54、an-L

55、0,n0=n0(c),使得n>n0,有an>c;-:c>0,n0=n0(c),使得