数学分析7-2,3.ppt

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1、§2闭区间上连续函数性质的证明有界性定理若f在闭区间[a,b]上连续,则f一定在[a,b]上有界.证（应用致密性定理）若f在[a,b]上无上界，依次取n=1，2，…，则得到数列由致密性定理，它含有收敛子列利用f的连续性，有另一方面，矛盾！所以f在[a,b]上有上界。类似地可证f在[a,b]上有下界，从而f在[a,b]上有界。最大值和最小值定理f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]一定有最大值和最小值.证应用确界原理由于f在[a,b]上连续，所以f在[a,b]有界.由确界原理，f的值域S=f([a,b])有上、下确界，反证法则g(x)在[a,b]连续，从而g(x)在[a,b

2、]有界，设G是g(x)在[a,b]的一个上界，即M不是f(x)的最小上界，矛盾！M显然是f(x)的最大值。同理可证下确界可达到，即最小值可达到。介值性定理设函数ƒ在闭区间[a,b]上连续，且ƒ(a)≠ƒ(b)。若c为介于ƒ(a)与ƒ(b)之间的任何实数（ƒ(a)c>ƒ(b)），则至少存在一点x0∈(a,b)，使得ƒ(x0)=c.证应用确界原理即E是非空有界数集。由确界原理，E有确界。证毕！定理（Contor定理，一致连续性定理）若f在[a,b]连续，则f在[a,b]一致连续。证用有限覆盖定理由于f在[a,b]上连续，考虑开区间集合：显然H是[a,b]的

3、一个开覆盖，由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集：覆盖了[a，b]。此时有所以f在[a，b]上一致连续。证毕。补充定理：P172.5在（a，b）上的连续函数f为一致连续的充要条件是f（a+0）与f（b-0）都存在。证明：证毕。注意：此定理不适合无限开区间的情况。定理：若f(x)在有限区间I上一致连续，则f(x)在I上必有界。§3上极限和下极限定义1若在数a的任一邻域内含有数列{xn}的无限多个项,则称a为数列{xn}的一个聚点.注1：数列的聚点和数集的聚点不同。数列以项为单位，相同数值的项看作不同的项，但作为点集却是同一个点。作为点集来看待时,它仅含有五个点,即这个有限集没有聚

4、点。作为数列，{xn}有5个聚点：点列的聚点实际上就是其收敛子列的极限.注2定理7.4有界点列(数列){xn}至少有一个聚点,且存在最大聚点与最小聚点.,定义2有界数列(点列){xn}的最大聚点与最小聚点A分别称为{xn}的上极限与下极限,记作例定理7.5对任何有界数列{xn}有:定理7.6定理7.9设{xn}为有界数列.(1)为{xn}上极限的充要条件是(2)A为{xn}下极限的充要条件是若定义1中的a可允许是非正常点+或-,则定理7.4可相应地扩充为:任一点列{xn}至少有一个聚点,且存在最大聚点和最小聚点.无上(下)界点列的最大(最小)聚点为+或-.作业P172.23