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《浅谈法向量在立体几何解题中的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈法向量在立体几何解题中的应用顺德区均安中学陈实摘要：传统的立体几何普遍给学生一种难作辅助线、推理繁琐的印象，随着课程改革的进行，中学数学引入了向量，向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，很多传统的立体几何问题，包括证明求角、求距离以及证明平行与垂直的题目，都能轻而易举地解决。关键词：法向量、角、距离向量在立儿、解儿甚至三角、不等式中的广泛应用，使向量成为解决立体儿何问题的重耍T具。近儿年高考也经常考查点到平而的距离，直线与平而所成角以及求二面角的大小时,法向量的灵活应用，使得原本很繁琐的推理，在利用法向量后变的思路清晰且规范，下面就谈谈平面法向量在立体儿何解题中的应用。•
2、、用法向量求异面直线间的距］理论知识：如右图所示，a、b是两异而直线,Fd和b的法向量，点Eea,Feb,则异面直线a与bZ间的距离是EF•n—*n例1、如下图，正方体ABCD-A1B1C1DI的棱长为2,M、N分别为AA.,BB】的中点,求(1)CM与DN的余弦值;(2)异而直线CM与DN的距离。(2004年广州调研试题)分析(2)：建立如图所示右手直角坐标系，则C(0,2,0)、D.(0,0,2)、M(2,0,1)、N(2,2,1)CM=(2-2,1),D、N=(2,2-1)DXM=(2,0-1)设法向量n=m2x-2y+z=0x=02x+2y-z二0z二2yy=l得n=(0,1
3、,2),D}M•n2_2a/545=^5~依公式得异而直线CM与D.N的距离是例2、（2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）中的第二十题）如图，在长方体ABCD—AiB]C]D
4、,中，AD=AA）=1,AB=2,点E在棱AD±移动.（1）证明：D]E丄AQ；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD]的距离；B分析：以D为坐标原点，直线DA,DC,DM分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AEp,贝I」A】(1,0,1),口(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0)C(0,2,0)(1)因为=(1,0,1),(1,%,—1)=0,所以DA丄(2)因为E为AB的中
5、点，则E(l,1,0),从而D,E=(1,1-1),AC=(-1,2,0),'一■A厂*/A而＞(-1,0,1),设平面ACD］的法向量为n=(aM，则芝_「'n•AD}=0,也即［i+2"=O,得$=从而：=(2丄2),所以点E到平面AUC的距［一a+c=0［a=c离为f~D^E-n2+1-21/?===InI33说明：用法向量求直线到平面间的距离具实是首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。三、用法向量求两平行平面间的距离理论知识：首先必须确定两个平而是否平行，这时可以在一个平而上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距
6、离问题。例3、棱长为1的正方体佔CD-A0CQ屮.(1)求证:平面AB1C〃平面A.C.D;(2)求平面MC与平面AC£间的距离.分析(2)：建立如图所示的直角坐标系,则A、D、儿、G的坐标分别是(1,0,0)、(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1),・・・DA=(1,0,1)，DC,=(0,1,1),AD=(1,0,0),将平而ABQD,AiB£CQ间的距离转化成点A到平C»y面A,C,D的距离。设平面A^D的一个法向量n=Uy,l),n-DA}=0,即.=>5nDC}=0[g”l)・(O丄1)=0则x=—y=一1n=(-1,-1,1),/.平面AB.C与平面A.C.D间
7、的距离ADn_
8、(_1,0,0).(-1,-1,1)
9、巧二7(-1)2+(-1)2+123理论知识：如图，有两个平面Q与0,分别作这两个平而的法向量®与®，则平面ci与B所成的角跟法向量®与忘所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。例4：(2005年高考全国卷川数学第十九题)在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三幷形，平面VAD丄底面ABCD.(I)证明AB丄平面VAD.(II)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.分析：证明：(I)作AD的屮点0,则V0丄底而ABCD建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1,C则A(-,0,0),B(-
10、,1,0),C2221,0),D0,0),V(0,0,—),22———1-x/322由农•AD=(0,l,0)(l,0,0)=0=>AB丄而1V3——一/IB-AV=(0,1,0)-(一一,0,—)=0^y4B丄AV22乂ABQAV=A・・・AB丄平面VAD(II)由(I)得AB=(0X0)是而VAD的法向量设刃=(1,y,z)是面VDB的法向量,则n^VB=0=>vn•BD=01/?(l,y,Z)・(_〒l，一才)=0=(1,畑(一1,—1,0)=0X=
