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1、§5.7哈密顿原理变分法简介哈密顿原理哈密顿原理的应用1一.变分法简介1.力学体系的变分原理(1)定义凡力学原理用到变分运算的,叫做力学的变分原理它是在基本定律基础上用变分法得到的，提出了区分真实运动与同样条件下可能的运动的规则。(2)意义积分原理微分原理虚功原理哈密顿原理(3)力学的变分原理有如果一个变量由一个或几个函数来确定，这个变量就称为这个或这几个函数的泛函。2.泛函(1)泛函的定义泛函f随函数y(x)的变化而变化.函数y(x)称为泛函f的宗量.如:连接平面上已知两点a,b的曲线弧长l的表达式为函数y(x)不
2、同，则弧长l不同.5(2)泛函与复合函数的说明a.复合函数仅随自变量的变化而变化，泛函随函数的变化而变化；b.复合函数只有单一曲线，泛函有许多条曲线.求泛函的极值问题，称为变分问题.数学上的变分法是为了解决最速落径问题发展起来的。(1)变分问题(2)最速落径问题铅直平面内,在所有联接二个定点A,B的曲线中,找出一条曲线,使得初速度为零的质点,在重力作用下,自A点无摩擦下滑时,以最短时间到达B点.OxyAB3.泛函的极值设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲线运动速度为质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间时间T
3、的值与函数y(x)有关，最速落径问题实质就是求泛函T[y(x)]的极值问题，而求关于泛函的极值就是变分问题，即求OxyAB4.泛函的变分(1)泛函宗量的变分这种自变量不变时的变分，称为等时变分.11(2)泛函的变分是指当自变量x不变时，函数的变分，所引起的泛函J的变化，即11泛函的变分，定义为泛函对参数的导函数在时的值。即为(3)泛函取极值的条件135.变分的运算法则假设有两个变量A和B，他们一般都是p,q,t的函数，则(1)变分运算法则证(iV):假定C是S维位形空间的一条曲线，且为质点遵循运动定律的轨道，即动力轨
4、道或真实轨道。C’为临近C的一条曲线，但不是质点的动力轨道.设一质点M沿C运动，它们同时自P1出发，同时到达P2.则在P1和P2点有叫做不动边界条件151）2）先后顺序可对易16(2)等时变分与不等时变分变分与微分运算顺序是否可以对易？17可见一般不能对易。若则等时变分不等时变分18二、哈密顿原理(1)位形空间受有完整约束的力学体系,由s个广义坐标组成的空间，称为位形空间.一般地，广义坐标是时间t的函数。在以1.位形空间和运动路径为坐标轴所张成的S维空间中，随着t从t1连续变化到t2，体系从位形空间中的位置q(t1)
5、连续变化到q(t2)，位形空间的“点”则描绘出一条轨迹。(2)运动路径这种以时间为参量的轨迹q(t)，称为运动路径.哈密顿作用量S随函数q(t)的变化而变化，S是函数q(t)的泛函.2.哈密顿作用量和哈密顿原理(1)哈密顿作用量S从相同的起点q(t1)到相同的终点q(t2)，约束条件所允许的可能运动路径有许多。但在S维位形空间的各种可能的运动路径中，真实运动的路径只能有一条。S定义为拉格朗日函数L的时间定积分.20(2)哈密顿原理对于完整保守系,在给定的起始位置和相同的约束条件下,体系的真实运动对应于哈密顿作用量取极
6、值.由拉格朗日方程，推导保守力系作用下的哈密顿原理.力学系统从时刻t1到t2的一切可能(约束条件所允许)的运动中，使哈密顿作用量S取极值(泛函取极值)的运动才是实际发生的运动.但由拉氏方程各项乘,对求和，然后沿着一条可能的运动轨道自P1运动到P2,对t积分，代入上式得：22因为称为作用函数或主函数23通过变分，可把微分方程变为简单形式，即哈密顿正则方程，哈密顿用该方程提供一个普遍原理，对量子力学中薛定谔方程的建立和广义相对论提供了桥梁。能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原理及正则方程，适用于其它形式的物质运动，如电动力学
7、、统计物理、相对论、量子力学。(3)说明24三、哈密顿原理的解体步骤（1）按照求拉格朗日方程的步骤求；（2）将L代入中计算，（3）正确使用变分规则，求出结果。例：用哈密顿原理推出一维线性谐振子的运动方程。解：先得到拉氏函数由哈密顿原理：26例2轻弹簧一端挂一质量为m的质点，另一端为悬点O，弹簧倔强系数为k，不受力时原长为l，摆动限于铅垂平面内，试用哈密顿原理求出质点的运动微分方程。解：s=2,取弹簧的长度r及与y轴夹角φ为广义坐标.代入哈密顿原理方程，则(1)式为：30311.变分法小结2.哈密顿原理3.哈密顿原理的
8、应用泛函的变分泛函作业5.28，5.31此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！
