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1、§1.1变化率 与导数谁创立了导数导数是在怎样的背景之下产生的呢十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽利略（Galileo:1564—1642）
2、，牛顿(Newton:1642-1727)等提出来．背景一、变化率问题吹气球：每次都吹入差不多大小的一口气气球变大的速度会怎样？也就是随着气球内空气容量增加，气球的半径增加的越来越慢，从数学的角度如何描述这种现象？1问题气球的体积V与半径r之间的函数关系是如果用体积V来表示半径r，则有随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢，从数学的角度如何描述这种现象？▲①当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为②当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增了气球的平均膨胀率为当空
3、气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？在上述过程中，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了.思考观看十运会中跳水男子十米台田亮逆转夺冠的影片剪辑，请同学们想一想田亮重心移动的图像是什么图形实践活动2探究活动假设相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.那么田亮①在0秒到0.5秒时间段内的平均速度是多少，②在1秒到2秒时间段内呢③在时间段内呢思考：①从以上的计算中看，能不能用平均速度精确的表示田亮的运动状态呢？平
4、均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映每一时刻的运动状态。②求田亮在t1秒到t2秒时的平均速度．假设相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.定义:平均变化率:式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.令△x=x2–x1,△f=f(x2)–f(x1),则3定义注意：①式子中△x、△f的值可正、可负，但△x的值不能为0，△f的值可以为0②变式思考:观察函数f(x)的图象,平均变化率表示什么?yxy=f(x)f(x
5、2)–f(x1)x1x2f(x1)f(x2)x2–x1O平均变化率的几何意义就是曲线上两点对应割线的斜率某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率T(月)W(kg)639123.56.58.611应用巩固随堂练习平均速度近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢.如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。△t<0时,在[3+△t,3]这段时间内△t>0时,在[3,
6、3+△t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………用右式表示逼近思想体现了什么数学思想？探究:1.求上题物体在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即
7、注意由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:（1）求平均变化率:；．（2）取极限，得导数:总结：试求函数在x=1处的导数。解：（1）在x=3处的导数，在x=a处的导数呢？变式：例题选讲例1：（2）求在点x=1处的导数例2求函数在x=2处的导数．解:法一：法二：当x变化时，f’(x)便是一个函数，我们称它为f(x)的导函数（简称导数）。y=f(x)的导函数有时也记作y’，即前者是一个函数，后者是一个数值。注意：课堂练习1．根据导数的定义求下列函数在指定点的导数．(1)(2)2.设函数f(x)可导，
8、则等于3.设函数f(x)在x=x0可导，则等于.
