变化率及导数的概念.ppt

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1、变化率问题与导数的概念问题1.气球平均膨胀率.吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗?解:可知:V(r)=πr3即：r(V)=当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了r(1)－r(0)≈0.62气球平均膨胀率：问题1.气球平均膨胀率.当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了r(２)－r(１)≈0.１６气球平均膨胀率：可以看出，随着气球体积变大，它的平均膨胀率变小．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少呢?在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间(单

2、位：s)存在函数关系我们可以用什么来描述在某段时间内的其运动状态呢？平均速度问题2：高台跳水在0≤t≤0.5这段时间内，在1≤t≤2这段时间内，在0≤t≤这段时间内，0问：运动员这段时间里是静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗？问题3.平均速度.物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt2,12求１s到２s时的平均速度．解：S2－S1==14.7t2－t1=1V=问题3.平均速度.思考：求t1s到t2s时的平均速度．V=平均变化率如果上述的两个函数关系用f(x)表示那么当自变量x从x1变化到x2时，函数值就从y1变化到y2则函数f(

3、x)从x1到x2的平均变化率：它的几何意义是什么呢？βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy▲如图：PQ叫做曲线的割线平均变化率的几何意义:割线的斜率平均变化率为问题4：瞬时速度物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt2,12如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？（我们可以取t=3临近时间间隔内的　　平均速度当作t=3时刻的瞬时速度，不过时间隔要很小很小）问题4：瞬时速度物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt2,12如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？解：取一小段时间：［3,3+△t]

4、△Ｓ=g(3+△t)2－gV=△Ｓ△t(6+△t)问题4：瞬时速度解：取一小段时间：［3,3+△t]△Ｓ=g(3+△t)2－gV=△Ｓ△t(6+△t)当△t0时，v3g=29.4（平均速度的趋向为瞬时速度）瞬时速度：（平均速度的趋向为瞬时速度）即：lim△t0S(3+△t)－S(3)△t=29.4思考：在t0时刻的瞬时速度呢？lim△t0S(t0+△t)－S(t0)△t例1一辆汽车按规律：作直线运动，求：（1）这辆汽车在t=3秒时的瞬时速度；（2）t=0到t=2时的平均速度.例2若一物体运动方程如下：求此物体在t=1和t=3时的瞬时速度瞬时变化率：

5、思考：我们利用平均速度的趋向求得瞬时速度，那么如何求函数f(x)在x=x0点的瞬时变化率呢？可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△xlim△x0△f△x=导数函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△xlim△x0△f△x=我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数．记作：f’(x0)=lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△x小结：由定义知，求f(x)在x0处的导数步骤为：例3.求y=x2在点x=1处的导数．解：小结：１．平均速度　　　瞬时速度；２．平均变化

6、率　　　瞬时变化率；３．导数f’(x0)=lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△x