张量分析总结.doc

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1、一、知识总结1张量概念1.1指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。例："l“I+力［2兀2+力13"丫3=力2

2、兀［+力22兀2+力23兀3=^2力3

3、兀［+力32尤2+力33兀3=(1」)式（1・1）可简单的表示为下式：Aijxj=Bi(1.2)其中：Z为自由指标，丿为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最

4、多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标丿则在同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。1.2Kronecker符号定义爲为:(1.3)务的矩阵形式为:(1.4)可知产3山符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成§的另一个指标，而》符号消失。如:SaSik=4恥d=Sn(1.5)爲的作用：更换指标、选择求和。1.3Ricci符号为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：1,i,j,k为偶排列liJk=^-1,i,j,k为奇排列（1.6）0,其余情况-1图1.1排列图侨的值中，有3个为1

5、,3个为・1,其余为0。Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。1.4坐标转换如上图所示，设I口坐标系的基矢为弓，新坐标系的基矢为弓。有错误!未指定书签。G在弓下进行分解：et.=以弓+0皆2+0心匕=0心勺错误!未指定书签。错误!未指定书签。勺在g下进行分解：勺=0品+02*；+03，用；=0离错误!未指定书签。其中，0厂/=cos（G，勺）=G•勺二勺乜错误!未指定书签。为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径:(1.7)其中为上图中坐标原点的位移矢量。将厂向新坐标轴错误!未指定书签。投影的矢量的分量：r'^=^rei

6、=xk8ki=xi即G+r）•弓=（“J。ek•弓+xjej-弓=（xk）0%+x屁=（x；）0+訂由此得新坐标用老坐标表示的公式：心山也（間错误味指定书签。类似地，将，向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：®=（◎）（）+兀禹（1.9）错误味指定书签。错误!未指定书签。特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时（x；）o=O,错误!未指定书签。上两式的矩阵形式为：{

7、上可知：'=卩汕让=脣（1.11）错误味指定书签。5•勺=0/•卩=血0沁=力几e•e・=&、1Jij同理，可推必A；Ay=4将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，错误!未指定书签。;将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，厂=兀/（£）心詁九错误沬指定书签。，其中詁错误味指定书签。错误味指定书签。为常数，错误!未指定书签。称丿二dxj为雅克比行列式。若j处处不为0,则说明存在相应的逆变化，即：冷二兽二等错误味指定书签。1・5张量的分量坐标转换规律1.5.1一阶张量一阶张量在新老坐标系中的分解为:a=ak：=ayj(1.12)其中：eJ=0虫(1.13)则：a==J时(1.14)得

8、到：a：=a/?(1.15)同理：<=00•勺(1.16)得:ai=0沪；(1.17)矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。1.5.2二阶张量定义弓勺为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由下式:(1.18)可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为:(1.19)错误!未指定书签。记：错误!未指定书签。场=叭错误味指定书签。(1.20)错误!未指定书签。(1.21)则:该式表示a与b并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为:(1.23)错误!未指定书签。将式(1.13)错误!未指定书签。代入错误!未指定书签。上式

9、可得:(1.24)此分量转换可进一步推广到高阶张量。张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。2张量的代数运算2.1张量的加减假如4、鸟为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加(减),得到的结果即为它们的和(差)，i己为4+0(4-£),例如:4土BfSj(2.1)显然，同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。2.2标量与张量的积张量4，标量久，若B-AA,贝I」：Bq—(2.2)2・3张量的并积两个同维不同阶(同阶)张量4、E的并积C是一个阶数为4、鸟阶数之和的高阶