张量分析课程报告

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1、张量分析课程报告1知识总结1.1指标符号例如,三维空间任意一点p在笛卡儿坐标系（），若是再推广到比三维更高的空间时不好描述了。因此，发展了另一种记法指标记法。在三维空间力里，矢量有三个分量，采用一般的指标将它们用一个简单的分量进行缩写。因此在指标记法里边用指标符号表示为（，i=1,2,3）。一个n维空间的矢量（）也可用分量表示为（）。其中i—指标（取值范围为小于或等于n的所有正整数）n—维数1.1.1求和约定和哑指标求和约定是指标记法的补充。若在一项中，只要一个下标在同一式子中重复出现，则表示要对这个指标从

2、1,2,3......n求和。要表示求和，可表示为，约定：，（用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维）。其中求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次。对于双重求和，，其中，可表示为，代表27项的和式。1.1.2自由指标可以简写为，其中j——哑指标i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同1.1.3Kronecker-d符号和置换符号(Ricci符号)（1）Kronecker-d符号定义张量分析课程报告首先是标积，从物理学知道，一个力矢量f与一个位移矢量s,可以确定一个标量，即功W，其中记作fs×．

3、所以又称点积。用指标符号，则当用基矢分别表示fs,时，它们的点积记为由于，，是相互垂直的单位矢量，由点积的定义，知当i=j时，dij的分量是1；当i¹j时，dij的分量为0。即克朗内克（Kronecker）符号dij可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即当将1、2、3赋值给i时，这一点很容易被验证，于是得到的分量分别为，，所以，可见，最终的结果是由于在数值变换上用i代替j。所以，显而易见，将dij应用于vj只是将vj中的j用i置换；因此dij符号通常称为置换算子。（2）置换符号(Ricci符号)交错张量eijk

4、还为缩写提供了另一种方法。例如，叉积可以写为。注意求和约定。三个矢量U，V，W的点积和叉积可以得到几种有意义的乘积形式：张量分析课程报告下面的关系式成立并且有用：以UVW,为边的平行六面体的体积或者该体积的负值，这要根据UVW,是不是构成右手坐标系而定。1.2矢量的基本运算在三维空间中,任意矢量都可以表示为三个基矢量的线性组合，其中ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数,也称矢量的分量（1）矢量点积可表示为，(2)矢量叉积可表示为其中，故可得：(3)矢量的混合积可表示为==其中有=（表示Ricci符号）1.3

5、坐标变换张量分析课程报告1.4梯度、散度1.4.1标量场的梯度假定在空间某区域定义一个标量，那么可以得到分别对三个坐标的导数，即1.4.2矢量的散度=Ñ是一个标量，在空间任一点，它只有一个值，不像矢量那样有三个分量。1.5笛卡尔张量1.5.1张量的概念与表示方法矢量是比标量更复杂的一种物理量或几何量。自然界还有比矢量更复杂的量，如弹性体中一点的应力状态，就有正应力，，和剪应力，，，，，共九个分量值。这样一种量，叫做张量。先从矢量v的表示方法考虑，从有向线段的图示法出发，应用平行四边形合张量分析课程报告张量分

6、析课程报告1.5.2张量的代数运算（1）加(减)法（2）矢量与张量的点积(点乘)张量的乘法，又叫张量的外积或直积。任何阶的几个张量都可施行乘法运算。其意义是第一个张量的每一个分量乘以第二个张量的每一个分量，不难证明它们组成的集合仍是一个张量，叫做原两个张量的积张量。积张量的阶数等于两相乘张量的阶数之和。矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b比原张量T的阶数降低一阶左点乘右点乘（只有对称张量两者才相等）（3）矢量与张量的叉积矢量与张量叉乘的结果仍为张量,新张量与原张量同阶左叉乘右叉乘（4）两个张量的点积两个张

7、量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减2两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这相当于矩阵相乘（5）张量的缩并在张量的不变性记法中,将某两个基矢量点乘,其结果是一个较原张量低二阶的新张量,这种运算称为缩并，张量的缩并是张量特有的又一个代数运算。对阶张量进行缩并，就是对其中两相同的指标按求和约定求和。不难证明，缩张量分析课程报告并之后仍是张量，其阶数比原张量低某个偶数，这要看它是对几对指标缩并而定。二阶张量的缩并，是一个标量。低于二阶的张量（如矢量）不能进行缩并运算。（6）指标置换这是

8、张量所特有的代数运算之一，也是最简单的张量代数运算，如若对该张量的分量中任意两个指标交换次序,得到一个与原张量同阶的新张量如果一个张量只是对某一对特定指标对称（或者斜对称），则称之为对这对指标对称的（或者斜对称）张量。如果在一个坐标系中，一个张量对某一对指标对称（或者斜对称），那么在所有的坐标系中，它对该对指标都对称（或者斜对称）。张量分析课程报告1知识应用————井筒岩体裂隙等效渗透系数张量数值法研究2.1井筒