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1、线性代数第一章行列式行列式的性质和计算性质1行列式与它的转置行列式相等,即性质3用数乘行列式的某一行(列),等于用数乘此行列式。性质5将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式不变.定理1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即1.p16.例4.D=2.p31.2(3)3.p26.5(3)(3)第二章矩阵一．矩阵的概念和运算1.矩阵的加法，数乘，乘法运算。与乘法一般
2、不满足交换律,即两个非零矩阵相乘,可能是零矩阵,故不能从必然推出或矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出p41-42二．逆矩阵的概念性质和计算1.性质(1)若矩阵可逆,则也可逆,且(2)若矩阵可逆,数则;(3)两个同阶矩阵可逆矩阵,的乘积是可逆矩阵,且(4)若矩阵可逆,则也可逆,且有(5)若矩阵可逆,则.2.计算(1)求的逆阵(2)已知.(3)已知，.3.解矩阵方程P70.例6例6.求矩阵,使,其中解若可逆，则，求解矩阵方程三．矩阵的秩的定义和求法1.定义：设为矩阵,如果存在的阶子式不为零,而任何阶子式(
3、如果存在的话)皆为零,则称数为矩阵的秩,记为(或).并规定零矩阵的秩等于零.2.求法：例设求矩阵及矩阵的秩.解P76.例6已知求与的值.解因故第三章线性方程组1.消元法2.向量组的线性相关性(1)定义给定向量组如果存在不全为零的数使(1)则称向量组线性相关,否则称为线性无关.(2)线性相关性的判定定理1向量组线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.定理2设有列向量组则向量组线性相关的充要条件是:是矩阵的秩小于向量的个数.定理3如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线
4、性相关.定理4若向量组线性相关,而向量组线性无关,则向量可由线性表示且表示法唯一.定理5设有两向量组向量组B能由向量组A线性表示,若,则向量组B线性相关.推论1个维列向量组线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵的秩等于（小于）向量的个数.推论2个维列向量组线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵的行列式不等于（等于）零.推论3当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,此向量组必线性相关.推论4线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.推论5向量组B能由向量组A线性表示,若向量组B线性无关,则推论6设向量组A与B
5、可以相互线性表示,若A与B都是线性无关的,则P96例2.已知试讨论向量组及的线性相关性.解对矩阵施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵及的秩，利用定理2即可得出结论.易见，故向量组线性相关;向量组线性无关.P97例3证明：若向量组线性无关,则向量组亦线性无关.证设有一组数使（1）成立，整理得由线性无关，故（2）因为故方程组（2）仅有零解.即只有时（1）式才成立.因而向量组线性无关.3.向量组的秩(1)定义：向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量的秩,记为.规定:由零向量组成的向量组的秩为0.定理1如果是
6、的线性无关部分组,它是极大无关组的充分必要条件是中的每一个向量都可由线性表示.(2)矩阵与向量组秩的关系定理2设为矩阵，则矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.定理3若向量组能由向量组线性表示,则推论：等价的向量组的秩相等.P102例2：设矩阵求矩阵A的列向量组的一个极大无关并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.解对施行初等变换化为行阶梯形矩阵：知故列向量组的极大无关组含3个向量.而三个非零首元在第三列，故为列向量组的一个极大无关组.故线性无关.由的行最简形矩阵：P102.例3：求向
7、量组的秩和一个极大无关组.解向量的分量中含参数向量组的秩和极大无关组与的取值有关.对下列矩阵作初等行变换:显然，线性无关，且（1）时，则且是极大无关组；（2）时，则且是极大无关组.4.向量空间与子空间(1)定义设为维向量的集合,若集合非空,且集合对于维向量的加法及数乘两种运算封闭,即(1)若则;(2)若则.则称集合为上的向量空间.(2)向量空间的基与维数定义设是向量空间,若有个向量,且满足(1)线性无关;(2)中任一向量都可由线性表示.则称向量组为向量空间的一个基,数称为向量空间的维数,记为并称为维向量空间.注
8、:(1)只含零向量的向量空间称为0维向量空间,它没有基;(2)若把向量空间看作向量组,则的基就是向量组的极大无关组,的维数就是向量组的秩;(3)若向量组是向量空间的一个基,则可表示为此时,又称为由基所生成的向量空间.故数组称为向量在基中的坐标.P107例6中过原点的平面是的子空间证明中过原点的平面可以看作集合若,,即则有即,故中过原点的平面是的子空间5.线性方程组解的结构(1).线性方
