变形构造函数证明不等式.doc

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1、变形构造函数证明不等式1.（变形构造新函数，一次）已知函数．⑴试讨论在定义域内的单调性；⑵当＜－1时，证明：，．求实数的取值范围．解：⑴函数的定义域为，．当时，增区间为，减区间为；当≤≤0时，增区间为；当时，增区间为，减区间为．⑵当＞0时，在区间(0,1)上单调递增，不妨设，则，∴等价于，即．构造，则＞0．∴在上是增函数，当时，，即，即．又当＞0时，在区间(0,1)上单调递增，∴．∴，即．2.（2011辽宁理21，变形构造函数，二次）已知函数.⑴讨论函数的单调性；⑵设，如果对任意，≥，求的取值范围.解：⑴的定义域为（0，+∞）..当时，＞0，故在

2、（0，+∞）单调增加；当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；当－1＜＜0时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调增加，在单调减少.⑵不妨假设，而＜－1，由⑴知在（0，+∞）单调减少，从而，等价于，……①令，则①等价于在（0，+∞）单调减少，即.从而,设并设，∴，∴≤故a的取值范围为（－∞，－2].1.（2010辽宁文21，构造变形，二次）已知函数.⑴讨论函数的单调性；K^S*5U.C#⑵设，证明：对任意，.解：⑴f(x)的定义域为(0,+)，.当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，＜0,故f(x)在(0,+)单

3、调减少；当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0,)时,＞0；x∈(，+)时，＜0,故f(x)在（0,）单调增加，在（，+）单调减少.⑵不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则+4＝.设，≤－1，对称轴为，结合图象知≤≤0，于是≤＝≤0.从而g(x)在（0,+）单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即　f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1,x2∈(0,+)，1.（辽宁，变形构造，二次）已知函数f(x)=

4、x2－ax+(a－1)，.（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）证明：若，则对任意x,x，xx，有.解：(1)的定义域为.①若即,则，故在单调增加。②若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。③若,即,同理在单调减少，在单调增加.⑵考虑函数则（另一种处理）由于1

5、（、、），(I)证明：只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数；(II)在二次函数图象上任意取不同两点，线段中点的横坐标为，记直线的斜率为，(i)求证：；(ii)对于“伪二次函数”，是否有①同样的性质?证明你的结论.解：（I）如果为增函数,则(1)恒成立,当时恒成立,(2)由二次函数的性质,(2)不可能恒成立.则函数不可能总为增函数.3分（II）（i）=.由,则--------5分（ii）不妨设,对于“伪二次函数”:=,(3)7分由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性质，则,(4)比较(3)(4)两式得，即：，(4)--------10分不妨

6、令，(5)设，则，∴在上递增，∴.∴(5)式不可能成立,（4）式不可能成立,.∴“伪二次函数”不具有(ⅰ)的性质.-------12分1.(变形构造，第2问用到均值不等式)已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋4ax＋1，g(x)＝6a2lnx＋2b＋1，其中a＞0.⑴设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值；⑵设h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，证明：若a≥－1，则h(x)在(0,＋∞)上单调递增；⑶设F(x)＝f(x)＋g(x)，求证：对任意x1,x2∈(0,＋∞)，x1＜x2有＞8.

7、解：⑴设f(x)与g(x)交于点P(x0，y0)，则有f(x0)＝g(x0)，即x＋4ax0＋1＝6a2lnx0＋2b＋1.①又由题意知f′(x0)＝g′(x0)，即2x0＋4a＝.②由②解得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．将x0＝a代入①整理得b＝a2－3a2lna.令s(a)＝a2－3a2lna，则s′(a)＝2a(1－3lna)，a∈(0,)时，s(a)递增，a∈(,＋∞)时，s(a)递减，所以s(a)≤s()＝，即b≤，b的最大值为.⑵h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，h′(x)＝2x＋＋4a－8，因为a≥－1，所以h′(x)＝2x＋＋

8、4a－8≥4a＋4a－8≥4(＋1)(－1)－8≥0，即h(x)在(0,＋∞)内单调递增．⑶由⑵知x1＜x2时，h(x1)＜h(x2)，