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《构造函数证明不等式.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、构造函数证明不等式1.已知函数（为自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）若，证明：．（1）解：∵，∴．令，得．∴当时，当时，．∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴当时，有最小值1．（2）证明：由（1）知，对任意实数均有，即．令（），则，∴．即．∵∴．∵，∴．2.已知函数（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，求证：．解：（Ⅰ）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故9的单调递减区间是．（Ⅱ）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时
2、在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．（Ⅲ），，，由此得，故．3.设函数，其中．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，9．当时，，即在上恒成立，当时，，当时，函数在定义域上单调递增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．②时，有两个相同的解，时，，时，，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，，，时，，，
3、即，．时，，随的变化情况如下表：极小值由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，，，此时，，随的变化情况如下表：极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点9；综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点．（Ⅲ）当时，函数，令函数，则．当时，，所以函数在上单调递增，又．时，恒有，即恒成立．故当时，有．对任意正整数取，则有．所以结论成立．4.设函数(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；(Ⅲ)证明：当m>n>0时，.解析：（Ⅰ）①时，∴在（—1，+）上是增函数②当时
4、，在上递增，在单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减又∴∴当时，方程有两解（Ⅲ）要证：只需证只需证：设，则由（Ⅰ）知在9单调递减∴，即是减函数，而m>n∴.5.已知函数（１）试判断函数的单调性，并说明理由；（２）若恒成立，求实数的取值范围；（３）求证：.解：（1） 故在递减…3分 （2） 记………5分 再令 在上递增。 ，从而g'(x)>0 故g(x)在上也单调递增………8分（3）方法1： 由（2）知：恒成立，即 令 则 ………10分 ………12分 叠加得： ……14分方法2：用数学归纳法证明（略）
5、。6..数列{an}满足.（Ⅰ）用数学归纳法证明：；（Ⅱ）已知不等式，其中无理数9（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.（2）假设当时不等式成立，即那么.这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立.（Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有两边取对数并利用已知不等式得故上式从1到求和可得即（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用已知不等式得上式从2到n求和得9因故成立.7..(1)若求的单调区间及的最小值;(2)若,求的单调区间;(3)试比较与的大小.,并证明你的结论..(1)当时,在区间上是递增的.…2分当
6、时,在区间上是递减的.故时,的增区间为,减区间为,.…………4分(2)若,当时,则在区间上是递增的;当时,,在区间上是递减的.…6分若,当时,则在区间上是递增的,在区间上是递减的;当时,,在区间上是递减的,而在处有意义;则在区间上是递增的,在区间上是递减的.……8分综上:当时,的递增区间是,递减区间是;9当,的递增区间是,递减区间是.…………9分(3)由(1)可知,当时,有即=.…………14分8.已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）．（1）求数列的通项；（2）设，，求证：，．解：（1），，即．…………………………………3分令，则，，
7、因此，数列是首项为，公差为的等差数列．，…………………………………5分．…………………………………6分（2）（方法一）先证明当时，．设，则，当时，，在上是增函数，则当时，，即．………8分因此，当时，，，…………9分当时，，．…………………10分．…………………………12分9．………………………14分（方法二）数学归纳法证明（1），，当时，成立；，，又，，当时，成立．……………………………………………8分（2）设时命题成立，即，，当时，，要证，即证，化简，即证．…………………………9分设，则，当时，，在上是增函数，则当时，，即．因此，不等
8、式成立，即当时成立．…………………11分当时，，要证，即证，化简，即证．根据前面的证明，不等式成立，则时成立．由数学归纳法可知，当时，不等式，成立．……………14分【说明】考查了数列的递推公式的处理、等差数
