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1、1.1.2分类计数原理与分步计数原理(二)1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么 完成这件事共有种不同的方法.2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点：不同点：分类加法计数原理与分类有关，分步乘法计数原理与分步有关。回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问
2、题加法原理乘法原理联系区别一完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事情,共分n个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能独立完成这件事情。它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三各类办法是互相独立的各步之间是互相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：例1.五名学生报名参加四项体育比赛
3、，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4=种.（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×５×５×５=种.例2要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班，有多少种不同的选法？解：要排好一个白班和晚班须分两个步骤来完成:第1步是从甲、乙、丙3人中选1人上白班,有3种选法:第2步是
4、选1人上晚班,但这时只能从剩下的2人中选1人,有2种方法,根据分步计数原理,不同的选法种数是：3×2=6.具体排法白班晚班白班晚班甲乙甲丙乙甲丙乙丙甲乙丙例3在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是：1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个.则根据加法原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是：8个,7个,6个,5个,4个,3
5、个,2个,1个.则根据加法原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).变式：从1到200的自然数中,各个数位上都不含8的自然数有多少个？分三类:第一类：一位数中除8以外的数符合要求，共个8第二类：两位数中十位、个位都不含8的数,有个.9×8=729×9+1=82第三类:三位数中符合要求的数,共有个.则满足条件的总的自然数有:N=8+9×8+9×9+1=162个.例4某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中有7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？解：由题意可知，艺术组9人中，只会钢琴
6、的有6人，只会小号的有2人，既会钢琴又会小号的有1人(可把该人称为多面手)．因此，选出会钢琴与会小号的各1人可分两类：第一类：不选多面手，分2步：第一步从只会钢琴的6人中选1人，有6种选法；第二步从只会小号的2人中选1人，有2种选法，因此，共有6×2=12(种).第二类：选多面手，分2步：第一步从多面手中选，有1种选法；第二步从非多面手中选，有8种选法，因此，共有1×8=8(种).故共有12+8=20(种).注：先分类，后分步.特殊元素优先考虑法.例5用红、黄、蓝不同颜色旗各3面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种
7、不同的信号？解：不同的信号可分为三类：第一类：升一面旗，又可分三类，有1+1+1=3种第二类：升两面旗，可分两步，有3×3=9种第三类：升三面旗，可分三步，有3×3×3=27种故共有3+9+27=39(种)评注：先分类，再在每一类中分类或分步.例6如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？（染色问题）解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,根据乘法原理,
8、得到不同的涂色方案种数共有:N=3×2×1×1=6种.例6如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,
