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1、2013-2014学年高中数学同步训练：第2章平面向量章末检测（苏教版必修4）一、填空题1．与向量a＝(1，)的夹角为30°的单位向量是________________．2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝________.3．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于________．4．若a与b满足
2、a
3、＝
4、b
5、＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b＝________.5．若向量a＝(1,1)，b
6、＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝________.6．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.7．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移后得到为________．8．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.9．已知非零向量a，b，若
7、a
8、＝
9、b
10、＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)
11、，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是________．11．在菱形ABCD中，若AC＝2，则·＝________.12.如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是________．①·②·③·④·13.如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．14．如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则A·A＝________.二、解答题15．已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．(
12、1)若
13、c
14、＝2，且c∥a，求c；(2)若
15、b
16、＝，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角．16．已知
17、a
18、＝2，
19、b
20、＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，(1)c∥d；(2)c⊥d.17.如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，E、F分别是腰AD、BC的中点，M、N是线段EF上的两个点，且EM＝MN＝NF，下底是上底的2倍，若＝a，＝b.(1)试用a，b表示；(2)证明：A、M、C三点共线．18．已知
21、a
22、＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：(1)a与b的夹角；(2)a－b与a＋
23、b的夹角的余弦值．19．已知向量、、满足条件＋＋＝0，
24、
25、＝
26、
27、＝
28、
29、＝1.求证：△P1P2P3是正三角形．20．已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.答案1．(0,1)或(，) 2.(1,2) 3.2 4. 5.a－b 6.4 7.(2,3)8．－1 9.610.11．－212．①13．－14．1815．解 (1)∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝(λ，2λ)．又
30、c
31、＝2，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2
32、a－b)＝0.∵
33、a
34、＝，
35、b
36、＝，∴a·b＝－.∴cosθ＝＝－1，∴θ＝180°.16．解 由题意得a·b＝
37、a
38、
39、b
40、cos60°＝2×3×＝3.(1)当c∥d时，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－.17．(1)解 ＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋(＋)＝＋＝a＋b.(2)证明 ＝＋＝＋＝a＋b∴＝，∴A、M、C三点共线．18．解 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝
41、a
42、2－
43、b
44、
45、2＝1－
46、b
47、2＝，∴
48、b
49、2＝，∴
50、b
51、＝，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.∴θ＝45°.(2)∵
52、a
53、＝1，
54、b
55、＝，∴
56、a－b
57、2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝.∴
58、a－b
59、＝，又
60、a＋b
61、2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝.∴
62、a＋b
63、＝，设a－b与a＋b的夹角为α，则cosα＝＝＝.即a－b与a＋b的夹角的余弦值为.19．证明 ∵＋＋＝0，∴＋＝－，∴(＋)2＝(－)2，∴
64、
65、2＋
66、
67、2＋2·＝
68、
69、2，∴·＝－，cos∠P1OP2＝＝－，∴∠P1OP2＝120°.同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，
70、即、、中任意两个向量的夹角为120°，故△P1P2P3是正三角形．20．证明 如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．(1)＝－＝(
