矢量分析基础ppt课件.ppt

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1、矢量代数常用正交曲线坐标系标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度无旋场与无散场拉普拉斯运算与格林定理亥姆霍兹定理本章内容本章重点1矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示矢量的几何表示矢量可表示为：其中为模值，表征矢量的大小；为单位矢量，表征矢量的方向；1.1矢量代数1.1.1标量和矢量标量与矢量标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）矢量的代数表示说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。教材上的矢量符号即采用印刷体。2矢量用坐标分量表

2、示zxy31.1.2矢量代数运算矢量的加法和减法矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：说明：矢量的加法符合交换律和结合律：矢量的加法矢量的减法4矢量的乘法矢量与标量相乘标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。矢量的标积（点积）说明：1、矢量的点积符合交换律和分配律：2、两个矢量的点积为标量3、q矢量与的夹角5矢量的矢积（叉积）说明：1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：2、两个矢量的叉积为矢量4、矢量运算恒等式qsinABq矢量与的叉积3、6三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。三种常用的

3、正交坐标系为：直角坐标系、圆柱面坐标系和球面坐标系。正交坐标系：三条正交曲线组成、确定三维空间任意点位置的体系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。1.2三种常用的正交坐标系71.2.1直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）oxyz0xx=（平面）0zz=（平面）P直角坐标系xyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzdydx8坐标变量：坐标单位矢量：变化范围：坐标变换关系：1.2.2圆柱坐标系圆柱坐标系9圆柱坐标系与直角坐标之间单位矢

4、量的变换关系ofxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系f10线元矢量体积元面元矢量位置矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元11说明：圆柱坐标系下矢量运算方法加减：标积：矢积：ABO121.2.3球坐标系坐标变量：坐标单位矢量变化范围：变换关系：13坐标单位矢量之间的关系球坐标系与圆柱坐标球坐标系与直角坐标oqrz单位圆柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系qq14线元矢量体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元位置矢量15说明：球面坐标系下矢量运算加减：标积：矢积：ABO16课外学习实训1试分析

5、产生此悖论的原因。在此基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告。2、位于球坐标系下的P点（1,30°,90°）处的矢量，利用直角坐标系可表示为：1、已知圆柱坐标系下的点和，试在圆柱坐标系下写出从到P的矢量与从P到的矢量171.3标量场的梯度1.标量场和矢量场标量场：物理量是为标量矢量场：物理量是矢量场的概念：物理量在空间区域上的一个确定分布例如：流速场、重力场、电场、磁场等例如：温度场、电位场、高度场等。场的表示方式如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。标量场：矢量场：182.标量场

6、的等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。标量场的等值线(面)193.方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。概念：——u(M)沿方向增加；——u(M)沿方向减小；——u(M)沿方向无变化。M0M方向导数的概念——的方向余弦。式中：20特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变

7、化率最大?最大的变化率为多少？梯度21梯度的计算公式：圆柱坐标系球坐标系直角坐标系4.标量场的梯度（或）意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念：其中取得最大值的方向M0梯度的概念22梯度的性质标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数标量场梯度的幅度表示标量场的最大变化率标量场梯度的方向垂直于等值面，且为标量场增加最快的方向标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影23梯度运算的基本公式：式中：为常数；为坐标变量函数；24解(1)例1.3.1设一标量函数u(x,y,z)=x2＋y2－z描述

8、了空间标量场。试求：(1)该函数u在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数u沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。25(2)而该点的梯度值为显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。261.4矢量场的通量与散度1.矢量线意义：形象直