数学基础__矢量分析ppt课件.ppt

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1、第一章数学基础（矢量分析）主要内容标积、矢积、梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理引言矢量代数、矢量微积分：电磁场理论研究必不可少矢量——为复杂现象提供紧凑的数学描述，并且便于直观想像和运算变换1例电压、温度、时间、质量、电荷等都是标量。实际上，所有实数都是标量。你能列举多少标量、矢量？1-1标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。标量——一个仅用大小就能够完整描述的物理量矢量——一个有大小和方向的物理量力、位移、速度、力矩、电场强度、磁场强度等都是矢量。2矢量A在空间可用一有向线段表示

2、几何表示ABAyxzAxBxAyByAzBzA(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)A=B31-2矢量的代数运算●矢量加法也可用平行四边形法则得到矢量加法、减法的平行四边形法则矢量加法按平行四边形法则进行●矢量减法的始端（尾tail）和的末端（尖tip）重合两矢量相加两矢量相减B4两个矢量的加减运算：对应的坐标分量的相加和相减直角坐标系A(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)(Ax＋Bx,Ay＋By,Bz＋Az)AA>1AA0<<1矢量与标量的乘法运算5标积(点积)的基本性质服从交换律和分配律A·B=B·AA·(B+C)=A

3、·B+A·C直角坐标系A(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)矢量A的大小矢量A的模两个矢量的标积是一个标量◆矢量的标积（点积，内积，）矢量的乘积包括标积和矢积1.3矢量的标积和矢积6◆模为1的矢量称为单位矢量（UnitVector）任一矢量A可写成矢量A的单位矢量任一矢量等于该矢量的模与其单位矢量的乘积ex、ey、ezx轴、y轴、z轴方向上的单位矢量矢量A的方向余弦7等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积记为标积（点积dotproduct)的几何意义任意两个矢量A与B的点积是一个标量标积的图示标量积(ScalarProduct)两

4、非零矢量的点积为零，则两矢量正交两矢量平行时点积最大8直角坐标系则两矢量的矢积的代数定义可用行列式表示为A=Axex+Ayey+AzezB=Bxex+Byey+Bzez◆矢量的矢积(叉积，外积，)9矢积(叉积crossproduct)的几何意义（右手螺旋）两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行或两个相互平行矢量的叉积一定等于零任意两个矢量A与B的叉积是一个矢量，大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，方向垂直于矢量A与B组成的平面，记为10叉积的图示右手螺旋关系矢量积不服从交换律，但服从分配律11场——描述在空间一定

5、区域所有点的一个物理量矢量场——矢量的空间分布构成矢量场标量场——静态场：场不随时间变化(staticfield）也称为时不变场（time-invariantfield）静止电荷产生的场（静电场）、恒定电流建立的场（静磁场）时变场（time-varingfield）温度场、气体压力、海拔、电位流体的速度和加速度、重力场、电场例例场的概念标量的空间分布构成标量场每点单纯用一个数来说明空间每个点的量同时用大小和方向来说明矢量的大小及方向与空间坐标无关——常矢量或常矢121.4标量场的梯度方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方

6、向上的变化率。例如标量场在P点沿l方向上的方向导数定义为Pl标量场中各点标量的大小可能不等，因此某点标量沿着各个方向的变化率可能不同。13梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场的梯度可表示为式中grad是英文字母gradient的缩写。若引入算符，它在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为14令u(x,y,z)=C,C为任意常数标量场的等值面一个标量场u可以用一个标量函数来表示直角坐标系u=u(x,y,z)曲面梯度的方向与等值面垂直，且指向

7、标量场数值增大的方向。等值面15梯度的性质（1）方向导数等于梯度在该方向上的投影（2）标量场u中每一点P处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u(P)增大的方向。也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。例梯度运算规则16通量：矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A通过该有向曲面S的通量，以标量表示，即1-5矢量场的通量与散度通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。因此，

8、当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。17由物理得知，真空中的电场强度E