二圆内接四边形的性质与判定定理.ppt

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1、二.圆的内接四边形的性质与判定定理第二讲直线和圆的位置关系二中西校区张福光1.圆内接多边形若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。OBCDEFAOACDEB什么叫圆内接多边形？回答下列问题：1.任意三角形都有外接圆吗？.2.任意正方形有外接圆吗？3.任意矩形是否有外接圆？4.任意四边形都有外接圆吗？探究：观察上组图形，你能从中发现圆内接四边形的共同特征吗？ABDCO.O.O.o.o.ADBCADBCADBC圆内接四边形的对角互补.下面我们来证明上述结论.问题2：圆内接四边形有什么性质？OCABD如图，

2、已知四边形ABCD为圆内接四边形；⊙O为四边形ABCD外接圆.求证：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.分析：从考察四个角的关系出发，我们发现圆内接四边形的角都是圆周角，因此我们可以借助圆周角定理.CODBA同理∠B＋∠D＝180°.圆内接四边形性质定理：定理1.圆的内接四边形的对角互补.αβ证明：如图连接OB、OD，则如图，已知四边形ABCD为圆内接四边形；⊙O为四边形ABCD外接圆.求证：∠A＋∠C＝180°,∠B＋∠D＝180°.引申：如果延长BC到E，那么∠DCE＋∠BCD＝180°.所以∠A＝∠DCE.又∠A＋∠BCD＝180°；因为∠A是

3、与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角，我们把∠A叫做∠DCE的内对角。定理2：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。CODBAE圆内接四边形性质定理：CODBAE12345678圆的内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内角的对角。看右图归纳：练习：1、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD及∠BCD的度数。AODBC∠BAD＝50°;∠BCD＝130°.例1.如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙

4、O2交于点F。求证：CE∥DF12OOFABECD分析：连结ABABEC是⊙O1的内接四边形ABFD是⊙O2的内接四边形∠E＋∠CAB＝180°,∠CAB＝∠F∠E＋∠F＝180°CE∥DF证明：连结AB∵ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠1＝∠F∵ADFB是⊙O2的内接四边形，∴∠E＋∠1＝180°∴∠E＋∠F＝180°∴CE∥DF12OOFABECD1例1.如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。求证：CE∥DF.小结：圆的内接四边形的性质定理:圆的内

5、接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内角的对角。问题2：如何判定一个四边形有外接圆？2.如果逆命题成立，我们可以得到四边形存在外接圆的判定定理.1.圆内接四边形的性质定理1的逆命题是什么吗？逆命题：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。如何证明逆命题：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。性质定理：圆的内接四边形的对角互补.CODBA如果能够由条件得到⊙O过点D，那么就证明了命题.分析：不在同一直线上的三点确定一个圆。经过A、B、C、三点作⊙O，讨论：⊙O与点D有几种位置关系？三种：（1）点D在圆⊙O外；（2）点

6、D在圆⊙O内；（3）点D在圆⊙O上.如果我们否定了点D在圆⊙O外和点D在圆⊙O内；则点D在圆⊙O上成立；如何否定了点D在圆⊙O外和点D在圆⊙O内？采用反证法把点D在圆⊙O外和点D在圆⊙O内情况一一否定。已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，求证：A,B,C,D四点在同一个圆周上（简称四点共圆）.CODBA反证法证明：（1）假设点D在圆⊙O外；E设E是AD与圆周的交点，连接EC，则有∠AEC＋∠B＝180°.由题设∠B＋∠D＝180°.可得∠D=∠AEC.这与“三角形的外角大于任意不相邻的内角”矛盾.故D点不可能在圆外.反证法证明：（2）假设点D在圆

7、⊙O内；CODBAE显然AD的延长线必与圆相交，设交点为E，连接CE，则有∠B＋∠E＝180°.∵∠B＋∠D＝180°.∴∠E=∠ADC.这与“三角形的外角大于任意不相邻的内角”矛盾.∴D点不可能在圆内.综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆.定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆内接四边形的判定定理：回顾：在圆内接四边形判定定理的证明中，我们用分类思想对点D与A、B、C三点确定的圆的位置关系进行了讨论，在每一种情形中都运用了反证法进行了证明.穷举法：当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情形分别论证，最后获证结论的

8、方法，称为穷举法.这种证明问题的方法叫穷举法.圆内接