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1、应用多元统计分析第三章习题解答1第三章多元正态总体参数的假设检验3-1设X～Nn(μ,σ2In),A为对称幂等阵,且rk(A)=r(r≤n),证明证明因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正交阵Γ(其列向量ri为相应特征向量)，使2第三章多元正态总体参数的检验3其中非中心参数为第三章多元正态总体参数的检验43-2设X～Nn(μ,σ2In),A，B为n阶对称阵.若AB＝0,证明X′AX与X′BX相互独立.证明的思路：记rk(A)=r.因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得Γ′
2、AΓ=diag(λ1,…,λr0,..,0)令Y＝Γ′X，则Y～Nn(Γ′μ,σ2In),第三章多元正态总体参数的检验且5又因为X′BX=Y′Γ′BΓY=Y′HY其中H=Γ′BΓ。如果能够证明X′BX可表示为Yr+1，…,Yn的函数，即H只是右下子块为非0的矩阵。则X′AX与X′BX相互独立。第三章多元正态总体参数的检验6证明记rk(A)=r.若r=n,由AB＝O,知B＝On×n,于是X′AX与X′BX独立；若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独立的.以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得第三章多元
3、正态总体参数的检验7其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是令r第三章多元正态总体参数的检验由AB＝O可得DrH11＝O，DrH12＝O.因Dr为满秩阵,故有H11＝Or×r，H12＝Or×(n-r).由于H为对称阵，所以H21＝O(n-r)×r.于是8由于Y1，…,Yr,Yr+1,…,Yn相互独立，故X′AX与X′BX相互独立.第三章多元正态总体参数的检验令Y＝Γ′X，则Y～Nn(Γ′μ,σ2In),且9设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵,试证明(X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)相
4、互独立ΣAΣBΣ＝0p×p.第三章多元正态总体参数的检验3-310由“1.结论6”知ξ与η相互独立第三章多元正态总体参数的检验11性质4分块Wishart矩阵的分布:设X(α)～Np(0,Σ)(α＝1,…,n)相互独立，其中又已知随机矩阵则第三章多元正态总体参数的检验试证明Wishart分布的性质(4)和T2分布的性质(5).3-412第三章多元正态总体参数的检验证明:设记,则即13第三章多元正态总体参数的检验当Σ12=O时,对α＝1,2,…,n,相互独立.故有W11与W22相互独立.由定义3.1.4可知14
5、性质5在非退化的线性变换下,T2统计量保持不变.证明:设X(α)(α＝1,…,n)是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本,X和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵,则由性质1有第三章多元正态总体参数的检验令其中C是pp非退化常数矩阵，d是p1常向量。则15第三章多元正态总体参数的检验所以16第三章多元正态总体参数的检验3-5对单个p维正态总体Np(μ,Σ)均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:μ=μ0(Σ=Σ0已知)的似然比统计量及分布.解:总体X～Np(μ,Σ0)(Σ0＞0),设X(α)(α=
6、1,…,n)(n＞p)为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为P66当Σ=Σ0已知μ的检验17第三章多元正态总体参数的检验18第三章多元正态总体参数的检验19第三章多元正态总体参数的检验因所以由§3“一﹑2.的结论1”可知20第三章多元正态总体参数的检验3-6(均值向量各分量间结构关系的检验)设总体X～Np(μ,Σ)(Σ＞0),X(α)(α＝1,…,n)(n＞p)为来自p维正态总体X的样本，记μ＝(μ1,…,μp)′.C为k×p常数(k7、及分布.解：令则Y(α)(α＝1,…,n)为来自k维正态总体Y的样本，且21第三章多元正态总体参数的检验检验这是单个k维正态总体均值向量的检验问题.利用§3.2当Σy=CΣC′未知时均值向量的检验给出的结论,取检验统计量:22第三章多元正态总体参数的检验3-7设总体X～Np(μ，Σ)(Σ＞0),X(α)(α＝1,…,n)(n＞p)为来自p维正态总体X的样本，样本均值为X，样本离差阵为A.记μ＝(μ1,…,μp)′.为检验H0:μ1=μ2=…=μp,H1:μ1,μ2,…,μp至少有一对不相等.令则上面的假设等价于H
8、0：Cμ=0p-1,H1：Cμ≠0p-1试求检验H0的似然比统计量和分布.解：至少有一对不相等.23第三章多元正态总体参数的检验利用3-6的结果知，检验H0的似然比统计量及分布为：其中(注意:3-6中的k在这里为p-1)24第三章多元正态总体参数的检验3-8假定人体尺寸有这样的一般规律:身高(X1),胸围(X2)和
