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1、应用多元统计分析第二章多元正态分布及参数的估计1在多元统计分析中,多元正态分布占有相当重要的地位.这是因为许多实际问题涉及到的随机向量服从正态分布或近似服从正态分布;当样本量很大时,许多统计量的极限分布往往和正态分布有关;此外,对多元正态分布,理论与实践都比较成熟,已有一整套行之有效的统计推断方法.基于这些理由,我们在介绍多元统计分析的种种具体方法之前，首先介绍多元正态分布的定义、性质及多元正态分布中参数的估计问题.第二章多元正态分布及参数的估计2第二章多元正态分布及参数的估计目录§2.1随机向量§2.2多元正态分布的
2、定义与基本性质§2.3条件分布和独立性§2.4随机矩阵的正态分布§2.5多元正态分布的参数估计3本课程所讨论的是多变量总体.把p个随机变量放在一起得X=(X1,X2,…,Xp)′为一个p维随机向量,如果同时对p维总体进行一次观测,得一个样品为p维数据.常把n个样品排成一个n×p矩阵,称为样本资料阵.第二章多元正态分布及参数的估计§2.1随机向量4第二章多元正态分布及参数的估计§2.1随机向量其中X(i)(i=1,…,n)是来自p维总体的一个样品.=(X1,X2,…,Xp)def5在多元统计分析中涉及到的都是随
3、机向量,或是多个随机向量放在一起组成的随机矩阵.本节有关随机向量的一些概念(联合分布,边缘分布,条件分布,独立性;X的均值向量,X的协差阵和相关阵,X与Y的协差阵)要求大家自已复习.三﹑均值向量和协方差阵的性质(1)设X,Y为随机向量,A,B为常数阵,则E(AX)=A·E(X)E(AXB)=A·E(X)·B第二章多元正态分布及参数的估计§2.1随机向量6D(AX)=A·D(X)·A'COV(AX,BY)=A·COV(X,Y)·B'(2)若X,Y相互独立,则COV(X,Y)=O;反之不成立.若COV(X,Y)=O,我们
4、称X与Y不相关.故有:两随机向量若相互独立,则必不相关;两随机向量若不相关,则未必相互独立.(3)随机向量X=(X1,X2,…,Xp)′的协差阵D(X)=是对称非负定阵.即=´,´≥0(为任给的p维常量).第二章多元正态分布及参数的估计§2.1随机向量7第二章多元正态分布及参数的估计§2.1随机向量—协差阵的性质(4)Σ=L2,其中L为非负定阵.由于Σ≥0(非负定),利用线性代数中实对称阵的对角化定理，存在正交阵Γ,使8第二章多元正态分布及参数的估计§2.1随机向量—协差阵的性质当矩阵Σ>0
5、(正定)时，矩阵L也称为Σ的平方根矩阵，记为Σ1/2.当矩阵Σ>0(正定)时,必有p×p非退化矩阵A使得Σ=AA′9第二章多元正态分布及参数的估计§2.1随机向量—协差阵的性质若Σ≥0(非负定),必有p×q矩阵A1使得Σ=A1A1′这里记Γ=(Γ1
6、Γ2),Γ1为p×q列正交阵(p≥q).并设：10在一元统计中，若U～N(0,1),则U的任意线性变换X=σU+μ～N(μ,σ2)。利用这一性质，可以从标准正态分布来定义一般正态分布：若U～N(0,1),则称X=σU+μ的分布为一般正态分布,记为X～N(μ,σ2)。此定
7、义中，不必要求σ＞0,当σ退化为0时仍有意义。把这种新的定义方式推广到多元情况，可得出多元正态分布的第一种定义。第二章多元正态分布及参数的估计§2.2多元正态分布的定义11定义2.2.1设U=(U1,…,Uq)′为随机向量,U1,…,Uq相互独立且同N(0，1)分布；设μ为p维常数向量，A为p×q常数矩阵，则称X=AU+μ的分布为p维正态分布，或称X为p维正态随机向量,记为X～Np(μ,AA′)。简单地说，称q个相互独立的标准正态随机变量的一些线性组合构成的随机向量的分布为多元正态分布。第二章多元正态分布及参数的估
8、计§2.2多元正态分布的第一种定义12第二章多元正态分布及参数的估计§2.2多元正态分布的性质1在一元统计中,若X～N(μ,σ2),则X的特征函数为φ(t)=E(eitX)=exp［itμ-t2σ2/2］13第二章多元正态分布及参数的估计§2.2多元正态分布的性质114性质1设U=(U1,…,Uq)′为随机向量,U1,…,Uq相互独立且同N(0,1)分布；令X=μ+AU,则X的特征函数为第二章多元正态分布及参数的估计§2.2多元正态分布的性质1这里t=(t1,…,tp),故ΦX(t)为p元函数.当X～N(0,1
9、)时,φ(t)=exp［-t2/2］.15性质1的证明：根据随机向量特征函数的定义和性质，经计算即可得出X的特征函数为ΦX(t)=E(eitX)=E(eit(AU+μ))第二章多元正态分布及参数的估计§2.2多元正态分布的性质1令t′A=s′=(s1,…sq)16第二章多元正态分布及参数的估计§2
