《线性代数》(同济第六版)课件.ppt

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1、线性代数（第六版）在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.3我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形.在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.4第一章行列式�内容提要§1二阶与三阶行列式§2§3§4§5§6§7行列式的概念.行列式的性质及计算.行列式按行（列）展开克拉默法则——线性方程组的求解.全排列及其逆序数n阶行列式的定义对换（选学内容）行列式的性质•行列式是线性代数的一种工具！•学习行列式主要就是要能计算行列式的值.§1二阶与三阶行列

2、式我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式.⎩a2112222一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组由消元法，得⎧a11x1+a12x2=b1⎨x+ax=b(a11a22−a12a21)x1=b1a22−a12b2(a11a22−a12a21)x2=a11b2−b1a21当a11a22−a12a21≠0时，该方程组有唯一解b1a22−a12b2a11a22−a12a21x1=a11b2−b1a21a11a22−a12a21x2=⎪x=a112121求解公式为⎧b1a22−a12b2⎪x1=a11a22−a12a21⎨b−ba⎪2a11a22−a12a21

3、⎩二元线性方程组⎧a11x1+a12x2=b1⎨x+ax=b请观察，此公式有何特点？�分母相同，由方程组的四个系数确定.�分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.2112222a⎩112121ax⎪=⎩我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.a11a12a11a12数表a21a22记号a21a22表达式a11a22−a12a21称为由该数表所确定的二阶行列式，即a11a12D==a11a22−a12a21a21a22其中，aij(i=1,2;j=1,2)称为元素.i为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j列.二元线性方程组⎧a11x1+a12x2=b1⎨x

4、+ax=b其求解公式为⎧b1a22−a12b2⎪x1=a11a22−a12a21⎨b−ba⎪2a11a22−a12a21原则：横行竖列a11a21a12a22=a11a22−a12a21主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积二阶行列式的计算——对角线法则⎧a11x1+a12x2=b1二元线性方程组⎨x+ax=b若令a11a12a21a22D=b1b2a12a22D1=a11a21b1b2D2=(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为D1D=x1=b1a22−a12b2a11a22−a12a211a11b2−ba21D2x2==a11a22−a12a

5、21D所以x1===2,例1求解二元线性方程组⎧3x1−2x2=12⎨⎩2x1+x2=1解3−221因为D==3−(−4)=7≠0=12−(−2)=1412−211D1=31221=3−24=−21D2=D114D7D2−21x2===−3D7a2223=a112233122331132132原则：横行竖列引进记号称为三阶行列式.a12a13a11a21a31a32a33aaa+aaa+aaa−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32二、三阶行列式定义设有9个数排成3行3列的数表a11a12a13a21a22a23a31a32a33主对角线副对角线二阶行列式的对角线法

6、则并不适用！三阶行列式的计算——对角线法则a12a13a22a23a31a32a33a11D=a21实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.12-4例2计算行列式D=-221-34-2解按对角线法则，有D=1×2×(−2)+2×1×(−3)+(−4)×(−2)×4−1×1×4−2×(−2)×(−2)−(−4)×2×(−3)=−4−6+32−4−8−24=−14.1x=0.x2例3解求解方程112349方程左

7、端D=3x2+4x+18−9x−2x2−12=x2−5x+6,由x2−5x+6=0得x=2或x=3.§2全排列及其逆序数引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解1233213百位十位个位1121233种放法2种放法1种放法种放法.共有3×2×1=6问题把n个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？定义把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.Pn=n⋅(n−1)⋅(