电路与信号分析 教学课件 作者 郑秀珍 07.ppt

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1、第7章信号的频谱分析——傅里叶分析周期信号的傅里叶级数展开式7.1周期信号的频谱分析7.2非周期信号的频谱分析——傅里叶变换7.3傅里叶变换的性质7.4周期信号的频谱函数7.5电路无失真传输信号的条件7.6本章首先介绍周期信号的傅里叶级数表示法及其频谱，然后着重介绍非周期信号的傅里叶变换及其频谱，并通过对傅里叶变换性质的讨论更深刻地揭示信号的时域特性与频域特性间的内在联系，还要简单介绍线性电路的傅里叶分析法，它实际上是正弦稳态相量分析法的推广，最后从频域角度讨论信号通过电路时无失真传输的条件。7.1周期信号的傅里叶级数展

2、开式7.1.1三角形式的傅里叶级数展开式7.1.2指数形式的傅里叶级数展开式7.1.3信号的对称性与傅里叶系数的关系7.1.4傅里叶级数在电路分析中的应用将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，称为信号的频谱分析。本节只阐述周期信号的频谱分析，其数学工具是傅里叶级数，简称傅氏级数。主要介绍傅氏级数展开式的基本形式及其应用。凡满足f(t)=f(t+nT)(其中n=0,±1,±2,±3，…，-∞＜t＜∞,T为周期)的函数称为周期函数，即周期信号。由数学分析课程已知，任何周期信号f(t)如果满足狄里赫利条件，即信号在一个周期内

3、：①连续或只有有限个第一类间断点；②只有有限个极值点；③绝对（值）可积（分），即,则f(t)可以展开成如下两种形式的傅里叶级数。(n为正整数)（7-1-1）式中ω1=2π/T称为基波角频率，a0称为直流分量，an、bn分别为余弦和正弦谐波分量的振幅。7.1.1三角形式的傅里叶级数展开式它们又称为傅里叶系数，分别由以下三个积分式子确定：式（7-1-2）中的t0为任选的时刻，一般常取t0=0或t0=-T/2。式（7-1-1）表明：任何周期信号只要满足狄里赫利条件就可以分解成一个直流分量及无穷多个与基波频率呈整数倍的余弦谐波分

4、量和正弦谐波分量之和。若将式（7-1-1）中同频率项加以合并：则三角形式的傅里叶级数又可写成余弦形式（7-1-3）比较式（7-1-1）与式（7-1-3），可看出各个量之间有如下关系：(7-1-4)式（7-1-3）比式（7-1-1）表明的更为简捷：任何周期信号只要满足狄里赫利条件就可以分解为一个直流分量与无穷多个谐波分量之和。显然，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。根据欧拉公式(7-1-5)7.1.2指数形式的傅里叶级数展开式将式（7-1-5）代入式（7-1-1）可得到(7-1-6)考虑到a

5、n是n的偶函数，bn是n的奇函数（参见式（7-1-2）），则,因此f(t)可写成为若将式（7-1-2）中的an和bn的计算公式代入,即可得到傅里叶复系数而于是，可将式（7-1-7）合并为一个和式(7-1-9)式（7-1-9）称为指数形式的傅里叶级数。其中n为从-∞到+∞的整数。指数形式比三角形式的傅里叶级数更为紧凑，并能推广出非周期信号的频谱——傅里叶变换。由于Fn和F(-n)是一对共轭复数，可知复系数的模Fn必是频率ω=nω1的偶函数，幅角θn是频率ω=nω1的奇函数。指数形式中出现的负频率分量，只是一种数学表达形式而

6、没有物理意义，只有把成对出现的正、负频率分量合并起来，才能构成一个实际的谐波分量，即指数形式的复系数Fn与三角形式的傅氏系数之间的关系如下：即欲将周期信号f(t)展开成傅里叶级数式（7-1-1）或式（7-1-9），关键是利用式（7-1-2）或式（7-1-8）作积分运算求出傅里叶系数。如果f(t)是实信号而且它的波形满足某种对称性时，将致使某些系数为零而不必再作积分，其余系数的计算式也变得比较简单。周期信号有以下几种对称情况。7.1.3信号的对称性与傅里叶系数的关系若信号波形以纵轴为对称轴，则称为纵轴对称信号，即满足f(t

7、)=f(-t)，此时f(t)是偶函数。图7-1-1给出了两个纵轴对称信号。1.纵轴对称图7-1-1纵轴对称信号偶信号的复系数Fn为实数。在偶信号的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。f2(t)周期三角脉冲信号的傅氏级数如下式：若信号波形以原点为对称，则称为原点对称信号，即满足f(t)=-f(-t)，此时f(t)是奇函数。图7-1-2给出了两个原点对称信号。2.原点对称图7-1-2原点对称信号奇信号的复系数Fn为虚数。在奇信号的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项。若信号波形沿时间轴平移半

8、个周期后的波形与原信号的波形为横轴对称，则称为半周横轴对称信号，即，此时f(t)是奇谐函数。图7-1-3给出了两个半周横轴对称信号。3.半周横轴对称图7-1-3半周横轴对称信号在半周横轴对称信号的傅里叶级数中，只会含有奇次谐波的正弦、余弦项，而不会包含偶次谐波项，这也是“奇谐函数”名称的来由之所在。7.2.1单边频谱