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时间：2020-03-04
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1、§1．6闭区间上连续函数的性质一、有界性与最值定理二、零点定理与介值定理1一、有界性与最大值最小值定理定义:例如,1-1xyo2定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.note:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.3定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证注在开区间连续的函数可能没xyO121有界.例如4二、零点定理与介值定理定义:几何解释:5MBCAmab证由零点定理,6推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最
2、小值之间的任何值.例1证由零点定理,同理可证,奇次实系数多项式至少有一个实根.于是7例2证由零点定理,证明的关键:构造辅助函数F(x)=f(x)—x.思考题下述命题是否正确？答：不正确.例：函数8例3证用反证法.设f不是严格单调的,则存在x1x2x3xx1x2x3x9x1x2x3x以第二种情形,即为例.不妨设由介值定理,在区间内,有,使在区间内,有,使这表明,两个不同的点对应于同一个函数值,这与f是一一映射矛盾.这就证明了f是严格单调的.证毕.由此推得,两个区间之间连续的一一满射,作为函数一定是严格单调的
3、.因此,由上节定理,我们得定理区间上连续函数的单值反函数必为连续函数.作业习题1.62,3.10
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