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1、第十节闭区间上连续函数的性质掌握闭区间上连续函数的相关定理能用定理证明一些简单的性质学习重点理解闭区间上连续函数的定义一、有限闭区间上连续函数的基本定理基本定理评注：证明：二、最值定理abxyo在区间内部取得最大值和最小值yabxo在区间端点取得最大值关于最值定理的说明：在闭区间[a,b]上连续的函数,一定能取得它的最大值和最小值。可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。三、介值定理证明：xyoabηηη注:定理说明对于闭区间上的连续函数,函数值之间的数还是函数值四、零点定理证明：o证明：求证方程在（-
2、1,5)内必有实根练习1由零点存在定理可知，原方程在[-1，5]内必有根。解答:而求证方程至少有两个实根练习2所以方程在区间和内各有一个实根例.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则*三.一致连续性已知函数在区间I上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义:对任意的都有在I上一致连续.显然:例如,但不一致连续.因为取点则可以任意小但这说明在(0,1]上不一致连续.定理4.上一致连续.(证明略)备用
3、题至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.例.设f(x)定义在区间上,,若f(x)在连续,提示:且对任意实数证明f(x)对一切x都连续.1.任给一张面积为A的纸片(如图),证明必可将它思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:习题课：一、连续与间断1.函数连续的等价形式有2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区间上连续函数的性质例2
4、.设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例3.设函数试确定常数a及b.例4.设f(x)定义在区间上,,若f(x)在连续,提示:且对任意实数证明f(x)对一切x都连续.证:证明:若令则给定当时,有又根据有界性定理,,使取则在内连续,存在,则必在内有界.上连续,且恒为正,例5.设在对任意的必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即证明:即上连续,且acdb,例6.设在必有一点证:使即由介值定理,证明:故即二、极限1.极限定义的等价形式
5、(以为例)(即为无穷小)有2.极限存在准则及极限运算法则3.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:4.两个重要极限6.判断极限不存在的方法5.求极限的基本方法或注:代表相同的表达式例7.求下列极限：提示:无穷小有界令则有复习:若例8.确定常数a,b,使解:原式可变形为故于是而例9.当时,是的几阶无穷小?解:设其为x的k阶无穷小,则因故阅读与练习1.求的间断点,并判别其类型.解:x=–1为第一类可去间断点x=1为第二类无穷间断点x=0为第一类跳跃间断点2.求解:原式=1(2000考研)注意此项含绝对
6、值3.求解:令则利用夹逼准则可知有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例.设函数试确定常数a及b.GoodBye
