有限元法基础 教学课件 作者 赵维涛 陈孝珍2 弹性力学基本理论.ppt

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1、第二章弹性力学基础第二章弹性力学基础§2.1弹性力学的基本假设§2.2弹性力学平面问题§2.3能量原理2.1弹性力学的基本假设1．假定物体是连续的2．假定物体是完全弹性的3．假定物体是均匀的4．假定物体是各向同性的5．假定位移和形变是微小的2.2弹性力学平面问题§2.2.1平面应力问题§2.2.2平面应变问题§2.2.3平衡微分方程§2.2.4几何方程§2.2.5物理方程§2.2.6边界条件及圣维南原理§2.2.7平面问题的基本解法2.2.1平面应力问题几何特征：一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多，例如等厚度平面薄板。受力特征：外力和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化

2、。应力特征：如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z轴方向不变，可认为整个薄板的各点都有由剪应力互等定理，有，，，因此，平面应力问题只有三个应力分量，仅为x、y的函数，与z无关，如下，，2.2.1平面应力问题几何特征：一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化，例如水坝，如图所示。受力特征：外力和约束平行于横截面作用，沿长度z方向不变化。应变特征：如图选取坐标系，以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。则任一横截面均可视为对称面，有沿z方向的位移2.2.2平面应变问题所有各点的位移矢

3、量都平行于xy平面，则，，因此，平面应变问题只有三个应变分量，仅为x、y的函数，与z无关，如下2.2.2平面应变问题2.2.3平衡微分方程平面问题的平衡微分方程，描述了微元体应力分量与体力分量之间的关系。无论是平面应力还是平面应变问题，平衡方程是一致的。取出一块dxdy,厚度为一个单位长度的微元体，将其所受力画在其上。设单位体积上的体积力为由，得由力矩平衡方程，得2.2.3平衡微分方程由，得2.2.4几何方程平面问题的几何方程，描述了弹性体内任意一点的应变与位移之间的关系。经过弹性体内的任意一点P，沿x轴和y的方向取两个微小长度的线段PA＝dx和PB＝dy，如图所示。经推导后

4、得出平面问题中表明形变分量与位移分量之间的关系式，如下图2.4变形图2.2.5物理方程平面问题的物理方程，描述了弹性体内任意一点的应变分量与应力分量之间的关系。在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克定律，如下三个弹性常数的关系为2.2.5物理方程在平面应力问题中，则在平面应变问题中，则2.2.5物理方程两种平面问题的物理方程写成统一形式。若以应变表示应力，则两种平面问题物理方程的统一形式如下2.2.6边界条件及圣维南原理圣维南原理：如果把物体的一小部分边界的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布

5、将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。2.2.7平面问题的基本解法综合起来，弹性力学平面问题的基本方程有8个：2个平衡微分方程、3个几何方程、3个物理方程。这8个基本方程中包含8个未知函数（坐标的未知函数）：3个应力分量；3个形变分量；2个位移分量。基本方程的数目恰好等于未知函数的数目，因此，在适当的边界条件下，从基本方程求解未知函数是可能的。在实际求解中，根据所取基本未知量的不同，弹性力学平面问题的基本解法可以分为两类：以应力为基本未知量的称为应力法；以位移为基本未知量的称为位移法。2.3能量原理系统的能量极值原理指出：在所有满足内部连续条件和运动学边界条件的位移中，

6、满足平衡方程的位移使系统的总势能取驻值。如果驻值是极小值，则平衡是稳定的，反之，使系统势能取驻值的位移函数，则是表达平衡状态的微分方程的解。第二章结束谢谢！