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1、1.特殊三角形边角关系、边边关系必须倒背如流ଵ√ଷsinAൌcosBൌൌ, cosAൌsinBൌൌ, ଶଶ√ଷtanAൌൌ, tanBൌൌ√3ଷଵ√ଷ√ଷଶ√ଷaൌcൌb, bൌ√3aൌc, cൌ2aൌb ଶଷଶଷ√ଶ√ଶsinAൌcosBൌൌ, cosAൌsinBൌൌ, ଶଶtanAൌൌ1, tanBൌൌ1√ଶaൌbൌc, cൌ√2aൌ√2b ଶଵ2.海伦－秦九韶公式，设三角形三条边分别为?，?，?，面积为S，?ൌሺ???ሻ，则：ଶS＝ඥ?ሺ?െ?ሻሺ?െ?
2、ሻሺ?െ?ሻ3.三角形的四心，设三角形三条边分别为?，?，?，面积为S。正三角形四心重合。①外心：三角形外接圆的圆心，即三条边垂直平分线的交点，锐角三角形外心在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部，直角三角形外心即是斜边的中点，外接圆半径R＝；ସௌ②内心：三角形内切圆的圆心，即三个内角角平分线的交点，所有三角形的内心均在三角形ଶௌ的内部，内切圆半径R=；ାା③重心：三条边中线的交点，所有三角形的重心均位于三角形的内部，重心性质：a. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离比是2：1；b.
3、 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，即重心到三条边的距离与三条边的长成反比；c. 重心到三角形3个顶点的距离的平方和最小；d. 在平面直角坐标系中，如果表示三角形三个顶点的坐标为௫భା௫మା௫య௬భା௬మା௬య(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则重心坐标为：(,)；ଷଷ④垂心：三条高所在直线的交点，锐角三角形垂心位于三角形内部，钝角三角形垂心位于三角形外部，直角三角形垂心即是直角顶点。垂心分每条高的两部分乘积相等。4.设正方体棱长为?，则: ①其内切球（球与正方体每个面都相切
4、）的直径等于棱长?；②其外接球（正方体8个顶点都在球面上）的直径等于√3?，即正方体的体对角线长；③其棱切球（球与正方体的每条棱都相切）的直径为√2?，即正方体的面对角线。正方体内切球正方体外接球正方体棱切球5.设长方体的棱长分别为?,?,?，则其外接球直径为√?ଶ?ଶ?ଶ，即是长方体的体对角线长，这一点与正方体相同，长方体没有内切球和棱切球。长方体外接球6.①圆柱外接球：圆柱的上下底面圆周线均在球面上，圆柱的轴线和球的直径所在直线重合，设圆柱底面半径为r，高为h，外接球半径为R，则有：R＝ට?
5、ଶሺሻଶ。ଶ②圆柱内切球：球与圆柱的上下底面及侧面均相切，球与圆柱的上下底面相切于一点（即上下底面的圆心），球与圆柱的侧面相切于一个圆，这个圆是圆柱的横切面圆，也是球的赤道圆，即用平面切球体时能得到的最大的圆，只有轴切面是正方形的圆柱才有内切圆，即圆柱的高等于它底面直径。设圆柱底面半径为r，高为h，内切球半径为R，则有：R＝r。圆柱外接球圆柱内切球7.①圆锥外接球：圆锥底面圆周线在球面上，圆锥顶点也在球面上，圆锥的轴线和球的直径所在మାమ直线重合，所有圆锥均有外接球，设圆锥底面半径为r，高为h，
6、其外接球半径为R，则有：R=ଶ②圆锥内切球：球与圆锥底面切于一点（底面的圆心），球与圆锥侧面相切于一个圆，此圆是圆锥的一个横切面圆，圆锥轴切面三角形的内切圆即是球的赤道圆，所有圆锥都有内切球，设圆锥底面半径为r，高为h，其内切球半径为R，则有：R==(√?ଶℎଶ‐?) ା√మାమ圆锥外接球圆锥内切球8.直棱柱的外接球：棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱，所有的直三棱柱都有外接球，直四棱及以上棱柱未必有外接球，只有其底面各顶点共圆的直多棱柱才有外接球。①顶底面为直角三角形的直三棱柱，其外接球的
7、球心位于顶底面斜边中点连线的中点（外心连线中点），用补形法可以很好理解并求出其外接球的球心。设直三棱柱底面两直角边分别为?，ଵ?，直三棱柱高为ℎ，其外接球半径为R，则R＝√?ଶ?ଶℎଶ；ଶ②顶底面为正三角形的直三棱柱，其外接球的球心位于顶底面中心连线的中点（外心连线中点）。ଵଵ设直三棱柱底面边长为?，直三棱柱高为ℎ，其外接球半径为R，则R＝ට?ଶℎଶ；ଷସ③顶底面为普通三角形的直三棱柱，其外接球的球心位于顶底面外心连线中点。④直棱柱外接球半径统一公式：R＝ට?ଶሺሻଶ，其r为直棱柱顶底面外接
8、圆的半径，h为直棱柱ଶ的高，这个公式适用于所有直棱柱的外接球（如果存在的话）的半径。如图，ABC－A1B1C1为直三棱柱，∠BAC=∠B1A1C1=90°，E和E1分别是上下底面斜边的中点，也即上下底面的外心，O为EE1的中点，也即其外接球的球心；另外，如果拿一个完全一样的直三棱柱，则两个完全一样的直三棱柱可组成一个长方体，底面两直角边及棱柱的高可视为是此长方体的三条棱，其体对角线AD1的中点也就是外接球的球心，外接球半径R＝ଵඥ??ଶ??ଶ??ଶ。
