江苏省高考数学二轮复习专题三不等式第2讲线性规划与基本不等式学案.docx

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1、第2讲　线性规划与基本不等式[考情考向分析]　1.线性规划的要求是A级，主要考查线性目标函数在给定区域上的最值.2.基本不等式是江苏考试说明中的C级内容，高考会重点考查．主要考查运用基本不等式求最值及其在实际问题中的运用，试题难度中档以上．热点一　简单的线性规划问题例1　(1)(2017·全国Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．答案　－5解析　作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由z＝3x－2y得y＝x－，求z的最小值，即求直线y＝x－在y轴上的截距的最大

2、值，当直线y＝x－过图中点A时，其在y轴上的截距最大，由解得A点坐标为(－1,1)，此时z＝3×(－1)－2×1＝－5.(2)已知实数x，y满足则的取值范围是________．答案　解析　不等式组对应的平面区域是以点(3，－1)，(3,2)和为顶点的三角形及其内部，设z＝，则z表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率，则当z＝经过(3，－1)时取得最小值－，经过点(3,2)时取得最大值，故的取值范围是.思维升华　线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：画目标函数所对应的直线时，要

3、注意与约束条件中的直线的斜率进行比较；一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练1　(1)设变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y的最小值为－2，则a＝________.答案　－2解析　约束条件对应的可行域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形及其内部．当a≥－1时，当目标函数所在直线y＝－ax＋z经过点(1,1)时，z取得最小值，则zmin＝a＋1＝－2，即a＝－3(舍去)；当a<－1时，当目标函数所在直线y＝－ax＋z经过点(2,2)时，z取得最小值，则zmi

4、n＝2a＋2＝－2，即a＝－2，符合题意，故a＝－2.(2)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为________kg.答案　30解析　设甲食物重xkg，乙食物重ykg，∵维生素A，B的含量分别不低于100,120单位，∴由得A(20,10)，混合物重z＝x＋y，平移直线z＝x＋y，由图知，当直线过A(20,10)时，z取最小值为20＋10＝30.

5、热点二　利用基本不等式求最值例2　(1)(2018·苏北六市模拟)已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为________．答案　8解析　∵abc＝4(a＋b)，∴c＝，∴a＋b＋c＝a＋b＋＝a＋b＋＋≥2＋2＝4＋4＝8.(当且仅当a＝b＝2时，等号成立)(2)设△ABC的BC边上的高AD＝BC，a，b，c分别表示角A，B，C对应的三边，则＋的取值范围是____________________．答案　[2，]解析　因为BC边上的高AD＝BC＝a，所以S△ABC＝a2＝bc·

6、sinA，所以sinA＝.又因为cosA＝＝，所以＋＝2cosA＋sinA≤，同时＋≥2(当且仅当b＝c时，等号成立)，所以＋∈[2，]．思维升华　用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．跟踪演练2　(1)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．答案

7、　3解析　∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，则＋≤3，即＋最大值为3.(2)(2018·兴化三校联考)已知函数f(x)＝ex－e－x＋x3＋3x，若正数a，b满足f(2a－1)＋f(b－1)＝0，则＋的最小值为________．答案　解析　由题意得f(－x)＝－f(x)，且f(x)为单调增函数，最多有一个零点，所以f(2a－1)＋f(b－1)＝0，即f(2a－1)＝－f(b－1)，所以2a－1＝1－

8、b，即2a＋b＝2，所以＋＝＋b＋＝2＋b＋＋－4＝＋.又＋＝×＝≥，当且仅当a＝，b＝时取等号．所以＋的最小值为.热点三　基本不等式的实际运用例3　(2018·苏州期末)如图，长方形材料ABCD中，已知AB＝2，AD＝4.点P为材料ABCD内部一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE＝1，PF＝.现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足∠MPN＝150°，点M，N分别在边AB，AD上．(1)