线性代数3-3(第四版)赵树嫄.ppt

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1、§33向量组的线性相关性(一)线性相关与线性无关(二)关于线性组合与线性相关的定理齐次线性方程组可以写成向量形式x11x22xnn0我们关心齐次线性方程组除零解外是否还有非零解即是否存在一组不全为零的数k1k2kn使关系式k11k22knn0成立举例(一)线性相关与线性无关定义37(向量组的线性相关性)对于向量组12s如果存在一组不全为零的数k1k2ks使关系式k11k22kss0成立则称向量组12s线性相关如果上式当且仅当k1k2ks0时成

2、立则称向量组12s线性无关设1(36)T2(24)T则有21320所以12线性相关举例(一)线性相关与线性无关定义37(向量组的线性相关性)对于向量组12s如果存在一组不全为零的数k1k2ks使关系式k11k22kss0成立则称向量组12s线性相关如果上式当且仅当k1k2ks0时成立则称向量组12s线性无关设1(12)T2(11)T则当且仅当k1k20时才有k11k220所以12

3、线性无关定理35(线性相关的判断法)对于m维列向量组12n其中j(a1ja2jamj)T(j12n)则12n线性相关的充分必要条件是以12n为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n推论1设n个n维向量j(a1ja2janj)(j12n)则向量组12n线性相关的充分必要条件是推论2当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时此向量组线性相关例1证明Rn中的初始单位向量组12n线性无关因为

4、In

5、10所以12

6、n线性无关因为当0时对任意k0都有k0成立而当0时当且仅当k0时k0才成立例2一个零向量线性相关而一个非零向量线性无关例3判断向量组1(1215)2(2111)3(43111)是否线性相关对矩阵(1T2T3T)施以初等变换化为阶梯形矩阵解秩(1T2T3T)23所以向量组123线性相关例4判断向量组1(1201)2(1301)3(1110)是否线性相关对矩阵(1T2T3T)施以初等变换化为阶梯形矩阵解矩阵(1T

7、2T3T)的秩为3恰等于向量组中向量的个数故向量组123线性无关例5证明如果向量组线性无关则向量组亦线性无关设有一组数k1k2k3使k1()k2()k3()0成立整理得(k1k3)(k1k2)(k2k3)0因为向量组线性无关故证所以该方程组只有零解k1k2k30从而线性无关提示该方程组的系数行列式D20定理36如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关则整个向量组线性相关此定理也可叙述为线性无关的向量组中任何一部分组皆线

8、性无关例6含零向量的向量组线性相关因零向量线性相关由定理36可知该向量组也线性相关(二)关于线性组合与线性相关的定理定理37向量组12s(s2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量是其余s1个向量的线性组合举例设有向量组1(1110)2(1010)3(0100)因为1230故123线性相关由1230可得123213312(二)关于线性组合与线性相关的定理定理37向量组12s(s2)线性相关的充分必要条件是其

9、中至少有一个向量是其余s1个向量的线性组合举例设1(12)2(1/22)有122由此可得1220即12线性相关定理38如果向量组12s线性相关而12s线性无关则向量可由向量组12s线性表示且表示法唯一(二)关于线性组合与线性相关的定理定理37向量组12s(s2)线性相关的充分必要