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1、6.3等比数列及其前n项和-2-考纲要求:1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.-3-1.等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.数学语言表达式:(n≥2),q为常数.(2)等比中项如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b
2、的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=ab.-4-2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1;可推广为an=amqn-m.(2)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,-5-3.等比数列及其前n项和的性质(1)已知{an}为等比数列,若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak·al=am·an;若m+n=2k,则am·an=(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+
3、2m,…仍是等比数列,公比为qm.(3)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.(4)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),仍是等比数列.-6-123451.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)满足an+1=qan(n∈N+,q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.()(3)等比数列中不存在数值为0的项.()(4)在等比数列{an}中,若am·an=ap·aq,则m+n=p+q.()
4、(5)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为.()××√××-7-12345答案解析解析关闭答案解析关闭2.(2015课标全国Ⅱ,理4)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84-8-123453.设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案解析解析关闭答案解析关闭-9-123454.在数列{an}中,a1=2,an+1=
5、2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=.答案解析解析关闭答案解析关闭-10-123455.在等比数列{an}中,已知a5-a1=15,a4-a2=6,若公比q>1,则a3=.答案解析解析关闭答案解析关闭-11-12345自测点评1.等差数列的首项和公差可以为零,且等差中项唯一;而等比数列的首项和公比均不为零,等比中项可以有两个值.2.在等比数列中,由an+1=qan,q≠0,并不能立即判断{an}为等比数列,还要验证a1≠0;若am·an=ap·aq,则m+n=p+q不一定成立,因为常数列也是等比数列
6、,但若m+n=p+q,则有3.在运用等比数列的前n项和公式时,如果不能确定q与1的关系,必须分q=1和q≠1两种情况讨论.-12-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混考点1等比数列的基本运算例1(1)(2015福建,理18)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.A.6B.7C.8D.9答案解析解析关闭答案解析关闭-13-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混(2)(2015安徽,理14)已
7、知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于.答案解析解析关闭答案解析关闭-14-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混思考:解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?解题心得:解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行
8、分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或当成整体进行求解.-15-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混对点训练1(1)设数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于()答案解析解析关闭答案解析关闭-16-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混答案解析解析
