重庆大学数学分析2004-2011年考研真题+高等代数2003-2010年考研真题.pdf

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1、重庆大学2003年高等代数考研试题1．填空题T(1)设n阶方阵A满足AA=E，其中E是单位矩阵，A<0，则A+E=。∗(2)设A,B均为n阶方阵，

2、A

3、=2,

4、B

5、=−3，A为矩阵A的伴随矩阵，则∗−12AB=。⎡11−1⎤⎢⎥2(3)设A=0−11，A−AB=E，则B=。⎢⎥⎢⎣001⎥⎦⎛x1⎞⎛x1⎞⎛x1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟3(4)设σ⎜x2⎟=⎜2x2−x3⎟，其中⎜x2⎟∈R为任意3维实向量，则线性变⎜⎟⎜⎟⎜⎟x3x+2xx⎝3⎠⎝13⎠⎝3⎠⎛1⎞⎛0⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟换σ在基⎜0⎟,⎜1⎟,⎜0⎟下的矩阵表示为。⎜

6、⎟⎜⎟⎜⎟⎝0⎠⎝0⎠⎝1⎠∗(5)设A是可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A一定有一个特征值为。⎡121⎤⎡x1⎤⎡1⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥(6)若方程23t+2x=3无解，则t=；若此方程有唯⎢⎥⎢2⎥⎢⎥⎢1t−2⎥⎢x⎥⎢0⎥⎣⎦⎣3⎦⎣⎦一解，则t=。⎡c10⎤2⎢⎥(7)设f(t)=4t+2t−3，A=0c1，则f(A)=。⎢⎥⎢⎣00c⎥⎦⎛1⎞⎛2⎞⎛1⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜2⎟⎜3⎟⎜1⎟⎜1⎟(8)向量组,,,的秩等于，其一个最大无关组⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟3403⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝4⎠⎝1⎠

7、⎝1⎠⎝3⎠是。⎡⎤⎢⎥⎢100⎥⎡1⎤(9)设A=⎢011⎥，x=⎢2⎥，y=Ax，则向量y的长度⎢22⎥⎢⎥⎢11⎥⎢⎣3⎥⎦⎢0−⎥⎣22⎦y=。(10)设n阶方阵A的秩R(A)=m，n阶方阵B的秩R(B)=n，则ABx=0的解空间的维数等于。2．计算题⎛1⎞⎜⎟⎜1⎟T(1)设n维向量α=，令A=αα，求对角矩阵Λ和可逆矩阵P使得⎜⎟⋮⎜⎟⎜⎟⎝1⎠−1PAP=Λ。5(2)设e,e,⋯,e是5维Euclid空间R的一组标准正交基，125VL(α,α,α)，其中α=e+e，α=−e+e+e，α=4e−5e+e，求V的123

8、123212431251一组标准正交基。⎡11−1⎤⎢⎥(3)设A=−3−33，求A的初等因子和Jordan标准矩阵。⎢⎥⎢⎣−2−22⎥⎦2(4)设n阶方阵A满足A=2A，且R(A)=r，证明A相似于对角阵，并求

9、A−3E

10、的值。(5)设A=(β,β,⋯,β)是n阶方阵，A=4，求矩阵12nB=(β+β,β+β,β+β,⋯,β+β)的行列式的值。1n1223n−1n3．证明题nn(1)设V,V是R中的两个非平凡子空间，证明在R中存在向量α使得123α∉V,α∉V，并在R中举例说明此结论。12(2)设e,e,⋯,e是n维线性空间

11、V的一组基，对任意n个向量12nnα,α,⋯,α∈V，证明存在唯一的线性变换T使得T(e)=α,i=1,2,⋯,n。12nnii(3)(i)设A,B为n阶方阵，证明R(AB)=R(B)的充分必要条件是ABx=0的解均为Bx=0的解。(ii)设A,B为n阶方阵，R(AB)=R(B)，证明对于任意可以相乘的矩阵C均有R(ABC)=R(BC)。kk+1(iii)若有自然数k使得R(A)=R(A)，则kk+jR(A)=R(A),∀j=1,2,⋯⋯。(4)设A为n阶实对称矩阵。(i)若R(A)

12、O⎤T⎢⎥PAP=O−EO⎢R(A)−r⎥⎢⎣OOO⎥⎦n'n(ii)记S={x∈R

13、xAx=0}，给出S为R的子空间的充分必要条件，并证明你的结论。'n(5)设实二次型f(x)=xAx,x∈R，λ是A的特征值，证明存在非零向量⎛k1⎞⎜⎟⎜k2⎟222α=，使得f(α)=λ(k+k+⋯+k)。⎜⋮⎟12n⎜⎟⎜⎟k⎝n⎠(6)设f(x),g(x),d(x)是三个多项式，证明f(x)g(x)(f(x),g(x))=d(x)⇔(,)=1。d(x)d(x)download.kaoyan.comdownload.kaoyan.com重

14、庆大学2006年硕士研究生入学考试试题科目代码:421科目名称:高等代数特别提醒考生:答题一律做在答题纸上(包括填空题包括填空题、包括填空题、、、选择题选择题选择题、选择题、、、改错题等改错题等)，，，直接做在试题上按零分计，直接做在试题上按零分计直接做在试题上按零分计。直接做在试题上按零分计。。。xaLa1bxLb2一、（10分）计算行列式：LLLLbbLxnx1+x2−x3=2二、（15分）a,b为何值时，方程组2x1+2(+a)x2−(b+)2=3有惟一解？无解？有无穷解？−3ax+(a+2b)x=−323无穷解

15、是并求其全部解。dn三、（15分）设d,n为正整数，证明(x−()1x−)1的充分必要条件为dn。四、（10分）设向量组α,α,L,α线性无关，且β可由α,α,L,α线性表示，而β不能由12s112s2α,α,L,α线性表示，证明对任意实数l，向量组α,α,L,