2018-2019学年高中数学选修4-1（人教版）练习：第一讲1.4直角三角形的射影定理.doc

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1、第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理A级　基础巩固一、选择题1．线段MN在直线l上的射影不可能是(　　)A．点　　　　　　　　B．线段C．与MN等长的线段D．直线解析：由射影的概念易知线段的射影不可能是直线．答案：D2．直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6cm和4cm，则斜边上的高是(　　)A．10cm　　　B．2cm　　　C．2cm　　　D．24cm解析：由直角三角形的射影定理得，斜边上的高为＝2(cm)．答案：C3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于(　　)A.B.C.D.解析：如图所示，由射影定理，得AC2＝CD·BC

2、，AB2＝BD·BC.所以＝＝，即＝，所以＝.答案：C4．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为(　　)A．2∶3B．4∶9C.∶3D．不确定解析：如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得CD2＝AD·BD，即＝.又因为∠ADC＝∠BDC＝90°，所以△ACD∽△CBD.又因为AD∶BD＝2∶3，设AD＝2x，BD＝3x(x>0)，所以CD2＝6x2，所以CD＝x，易知△ACD∽△CBD的相似比为＝＝＝∶3.答案：C5.如图所示，在矩形ABCD中，BE⊥AC于点F，点E恰是CD的中点，下列式子成立的是(　　)A．BF2＝

3、AF2B．BF2＝AF2C．BF2>AF2D．BF2

4、t△ADC中，DE⊥AC，所以由射影定理知CD2＝CE·CA.同理CD2＝CF·CB，所以CE·CA＝CF·CB.答案：CF·CB8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝12cm，BC＝15cm，则S△ACD∶S△BCD＝________．解析：因为∠ACB＝90°，CD是高，所以AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，所以AD∶BD＝AC2∶BC2.又因为S△ACD＝·AD·CD，S△BCD＝·BD·CD，所以S△ACD∶S△BCD＝AD∶BD＝AC2∶BC2.又因为AC＝12，BC＝15，所以S△ACD∶S△BCD＝144∶225＝16∶25.答案：16∶25三、解答题9

5、．如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是在Rt△BCD斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝2，求AD的长．解：因为CD⊥AB，所以△BCD为直角三角形，即∠CDB＝90°，因为DE⊥BC.由射影定理可知：DE2＝CE·BE＝12，所以DE＝2，CD2＝CE·BC＝16，所以CD＝4，因为BD2＝BE·BC＝48，所以BD＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理可得：CD2＝AD·BD，所以AD＝＝＝.10．如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于点G、H，交CE于点F，且∠H＝∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.证

6、明：因为∠H＝∠BCE，CE⊥BH，所以△BCE∽△BHG.所以∠BEC＝∠BGH＝90°，所以HG⊥BC.因为BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2＝BG·CG.①因为∠H＝∠BCF，所以∠FGC＝∠BGH＝90°，所以△FCG∽△BHG，所以＝，所以BG·CG＝GH·FG.②由①②，得GD2＝GH·FG.B级　能力提升1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是(　　)A.B.C.D．2解析：如图所示，由射影定理得CD2＝AD·BD，又因为BD∶AD＝1∶4，令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，所以CD2＝AD·BD＝4x2

7、，所以CD＝2x.在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.答案：C2．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC.AB＝10cm，AC＝6cm，则此梯形的面积为________．解析：如图所示，过C点作CE⊥AB于E，在Rt△ACB中，因为AB＝10cm，AC＝6cm，所以BC＝8cm.在Rt△ABC中，由射影定理易得BE＝6.4cm，AE＝3.6cm.所以CE＝＝4.8(cm)，所以AD＝4