二重积分的概念及计算.ppt

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1、第10章重积分§10.1二重积分一、引例二、二重积分的定义及可积性三、二重积分的性质四、曲顶柱体体积的计算五、利用直角坐标计算二重积分六、利用极坐标计算二重积分七、二重积分换元法1解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”21)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体34)“取极限”

2、令42.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.52)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量6两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:7二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I

3、,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,8引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作9二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.10三、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则11特别,由于则5.若在D

4、上6.设D的面积为,则有127.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此13例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上14例2.判断积分的正负号.解:分积分域为则原式=猜想结果为负但不好估计.舍去此项15例3.判断的正负.解：当时，故又当时，于是16例4.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D17例5.估计的值,其中D为解:被积函

5、数D的面积的最大值的最小值188.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有19四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的20同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算21例6.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为22内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相

6、似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法23被积函数相同,且非负,思考与练习解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:242.设D是第二象限的一个有界闭域,且0

7、明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则30例7.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则31例8.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则32例9.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序

8、.33例10.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则34例11.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,35解：原式例12.给定改变积分的次序.36对应有六、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线=常数,分划区域D为37即38设则特别,对39若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中