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《鞍点定理在Lagrange乘数法上的应用.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第25卷第2期大学数学Vol.25,№.22009年4月COLLEGEMATHEMATICSApr.2009鞍点定理在Lagrange乘数法上的应用喻方元,于寅(湖北汽车工业学院理学部,湖北十堰442002)[摘要]将鞍点的概念运用在Lagrange乘数法上,给出了多元函数的条件极值问题存在的一个充要条件.[关键词]Lagrange乘数法;条件极值;鞍点;鞍点定理[中图分类号]O178[文献标识码]A[文章编号]167221454(2009)02201042051问题的提出众所周知,对于多元函数的条件极值问题minf(x),(1)s.t.g(x)
2、-a=0,有所谓Lagrange乘数法.即作函数L(x,λ)=f(x)+λ(g(x)-a),令ýxL=0,ýλL=0,即ýxf+λýxg=0,(2)g(x)-a=0.(3)若条件极值问题(1)有解,则解必须满足方程(2),(3),这就是所谓Lagrange乘数法.它仅仅给出了原问题的极值存在的必要条件.即使满足方程(2),(3)的解x0惟一,此点x0也未必就是原问题的极值点.2例如条件极值问题z=xy,s.t.x-y=0,做Lagrange乘数函数2L=xy+λ(x-y).令ýxL=0,ýλL=0,得唯一解x=y=0.3但是函数z=x在x=0点没
3、有极值.如何给出条件极值问题存在的充分条件就成为要解决的问题.2问题的解决本文引进鞍点的概念,并运用鞍点定理证明:若(x0,λ0)是函数L(x,λ)的鞍点,则x0必定是条件极值问题(1)的解.本文总设所列函数具有连续的偏导数.先证明若x0是满足问题(1)的解,λ0是与x0相对应的Lagrange乘子,则有引理记X={x
4、g(x)-a=0},x0=argminf(x)∈X,λ0是与x0相对应的Lagrange乘子,则有L(x0,λ)≤L(x0,λ0)≤L(x,λ0).[收稿日期]2006210227第2期喻方元,等:鞍点定理在Lagrange乘数法
5、上的应用105证L(x0,λ)=f(x0)+λ(g(x0)-a)≤L(x0,λ0)=f(x0)+λ0(g(x0)-a).因为所求问题的极值存在,由(2),(3)式联立解出的点x0及λ0对应的必然是函数L(x,λ)的极小值点,即L(x0,λ0)=f(x0)+λ0(g(x0)-a)≤L(x,λ)=f(x)+λ(g(x)-a).特别地,取λ=λ0时,有L(x0,λ0)=f(x0)+λ0(g(x0)-a)≤L(x,λ0)=f(x)+λ0(g(x)-a).定义设f(x),g(x)为连续函数.若存在(x0,λ0)的某个邻域U(δ),使得函数L(x,λ)=f(
6、x)+λ(g(x)-a),λ∈R满足不等式L(x0,λ)≤L(x0,λ0)≤L(x,λ0),P(λ,x)∈U(δ),则称(x0,λ0)为鞍点.定理1(鞍点定理)(x0,λ0)是函数L(x,λ)的鞍点的充分必要条件是下列两条成立:(i)x0=argminL(x,λ0);(ii)g(x0)-a=0.证必要性.因为(x0,λ0)为鞍点,所以L(x0,λ)≤L(x0,λ0)≤L(x,λ0).从而L(x0,λ0)≤L(x,λ0),即x0是函数L(x,λ0)的极小值点,x0=argminL(x,λ0).又L(x0,λ)=f(x0)+λ(g(x0)-a)≤L(
7、x0,λ0)=f(x0)+λ0(g(x0)-a),由此得(λ0-λ)(g(x0)-a)≥0.由λ的任意性知g(x0)-a=0.充分性.设x0=argminL(x,λ0),g(x0)-a=0,则L(x0,λ0)≤L(x,λ0).于是L(x0,λ)=f(x0)+λ(g(x0)-a)=f(x0)+λ0(g(x0)-a)=L(x0,λ0)≤L(x,λ0)=f(x)+λ0(g(x)-a),故(x0,λ0)为鞍点.定理2f(x0)是满足条件g(x)-a=0下函数f(x)的极小值的充要条件是(x0,λ0)是函数L(x,λ)的鞍点.证充分性.若(x0,λ0)是L
8、(x,λ)的鞍点,由鞍点定理,有(i)x0=argminL(x,λ0)∈X;(ii)g(x0)-a=0.由(i)知L(x0,λ0)=f(x0)+λ0(g(x0)-a)≤L(x,λ0)=f(x)+λ0(g(x)-a),所以f(x)+λ0(g(x)-a)-f(x0)-λ0(g(x0)-a)=f(x)-f(x0)+λ0(g(x)-g(x0))≥0.(4)假如f(x)在x0点不取得极小值,则对于任意邻域U(x0,δ),存在点x1,使得f(x1)9、>0.不妨设λ0>0,上式表明:对于任意邻域U(x0,δ),存在x1∈U(x0,δ),使得g(x1)-g(x0)≥r>0.这与函数g(x
