yyf§10.1 轴对称球函数.ppt

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1、第十章球函数掌握勒让德多项式的各种表达式、正交关系、完备性及模。掌握将函数展开为广义傅里叶级数的方法。能够求解拉氏方程轴对称定解问题。了解连带勒让德多项式和球函数的各种表达式、正交关系、完备性及模以及函数的广义傅里叶级数。了解拉氏方程的非对称轴定解问题的求解。对上一章特殊函数常微分方程定解问题解出的各种特殊函数及球函数的性质作系统分析研究。教学提示：12方程球坐标系柱坐标系3在球坐标系下，对拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程分离变数得到的球函数方程的解球函数进行讨论：4而满足其中连带勒让德方程5§10.1轴对称球函数此时，方程的解简化为：与无关，则m=0，得当①勒让德方程6本

2、征值为利用已知递推公式：（参见P1929.2.5式）在方程①与有限的条件下：在相应的本征解中，将最高幂次项系数凑成②7其中反推得③不超过的最大整数8勒让德多项式前几项：9勒让德多项式的图象10勒让德多项式的图象11的性质（见P225）：（2）微分表示罗德里格斯公式（1）12（3）积分表示施列夫利积分（4）且为偶函数，为奇函数；13（6）正交关系权重因子或（5）方程①加自然边界条件的通解为（见P226～227）14证明：设为本征值，对应本征函数相减，在[-1，1]上积分，显然乘以乘以（参见P213（9.4.3）式）15第一个积分=第二个积分中16（7）的模(方)即（参阅

3、教材P228）17或（8）广义傅里叶级数在[-1，+1]上连续，则设作为施-刘问题中的一种，勒让德多项式具备正交完备性，可作为基函数将进行广义傅里叶展开。18例1：以勒让德多项式为基，在[-1，+1]上把展开为广义傅立叶级数。解：19得不妨设_20例：将函数按勒让德多项式形式展开.【解】考虑到所以21例：将函数展开为勒让德多项式形式【解】用直接展开法令则已知：22可设考虑到勒让德函数的奇偶性，显然由项的系数，显然得出故有23例2：在球的内部求解使其满足边界条件解：①显然定解问题是轴对称问题，在球坐标系下无关（即m=0）u与拉普拉斯方程的轴对称定解问题24显然球内有限，

4、取即代入边界条件25即26例3：半径为r0的半球，其球面上的温度保持为，底面绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。27绝热而有边界条件本例应为而关于边界条件的说明：28另：29即由边界条件对问题作偶延拓30代入边界条件而其中又球内问题轴对称解31（参见P229例2）比较，得=32得33解：（1）轴对称，取球坐标例4：半球的球面保持一定温度u0，半球底面（1）保持00C；（2）绝热；试求这个半球里的稳定温度分布。34需作奇延拓有限解35代入条件36注：公式3738（2）底面绝热需作偶延拓39有限解：040解：原来场强为例5：匀强电场中放置均匀介质球，求。，半径r0，解有限

5、41当是常数项，可以保留42由衔接条件43rrr44均匀场r解得：rrrr45讨论利用母函数的方法来产生勒让德多项式：性质（9）：母函数（生成函数）静电场的例子：单位的正电荷令（静电势）单位球的北极放一46讨论函数其中z为复变数，参数，显然在内（球内问题）解析（以下讨论，系数恰为）C为单位圆内包围原点z=0的封闭曲线其中（见P47定理）47作变量代换平面，也为复变数，即从z平面变换到平面上x点，沿绕x走一圈显然，z平面上o点对应z沿C绕o走一圈，对应2248或称为勒让德多项式的母函数。故将，就是为了与的展开式一致）（之所以将勒让德多项式最高次幂的系数规定为故49由上式

6、可以推出（对上式两端求导，并令z=0）50注51在单位球的北极放一个单位的正电荷，P点的电势为：在球内或球外空间，有解为母函数的讨论也可以采用物理的方法。52对球内令而53对球外取54或55例6：在点电荷的电场中放置接地导体球，球的半径为a，球心与点电荷相距r1（r1>a），求解这个静电场。解：由于是导体，球内空间接地u=常数=0利用迭加原理，球外空间的场由原点电荷的场加上球面感应电荷的场：56对球外而57球外代入边界条件:58利用母函数讨论:59相当于在B处()放置的点电荷(称为像电荷),物理上有电像法求解.B*60有介质球时，对球内、球外分别讨论：解：无介质球时，

7、电势例7：均匀介质球,半径为r0，介电常数为把介质球放在点电荷求解该静电场中的电势.的电场中,球心到点电荷距离为d(d>r0),dr0r1、球外：61由迭加原理可得解的形式2、球内：62衔接条件：而（r0