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时间：2020-01-31
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1、球函数方程与球函数本节将介绍由球形区域上三维热传导方程或波动方程分离变量法导出的Helmholtz方程求解过程中得到的球函数的性质1球函数方程与球函数以热传导方程为例，导出Helmholtz方程分离出时间变量与空间变量：设代入以上方程并化简得：Helmholtz方程加上齐次边界条件可构成固有值问题。2球函数方程与球函数一维Helmholtz方程:二维Helmholtz方程：现在来研究球域上的三维Helmholtz方程。在球坐标系下Helmholtz方程可表达为3球函数方程与球函数用分离变量法求解(1)，先分离出r:设程。若令，则可化为关于的Bessel方程：方程称为球函
2、数方程；若则为欧拉方4球函数方程与球函数从而有：其中5球函数方程与球函数对于，由实际意义得：用分离变量法求解(3):设6球函数方程与球函数对于(6)，记(6)化为则7球函数方程与球函数令则8球函数方程与球函数若记则以上球函数方程在自然边界条件和周期性条件下可构成固有值问题，其固有值和固有函数为称函数为n阶球函数。9球函数方程与球函数球函数系具有如下正交性：证明其证明其实很简单：若记则10球函数方程与球函数11球函数方程与球函数展开定理若在区域上满足狄利克雷条件，则在连续点处，可以展开成广义Fourier级数12
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