任意多边形面积公式的推导及其应用.pdf

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1、第!%卷第%期大!学!数!学’()*!%!+*%!""&年!月,-../0/1234/1235,6789*!""&任意多边形面积公式的推导及其应用罗志强!!钟尔杰!电子科技大学应用数学学院"成都:%""&##!!!摘!要"通过对0@88C公式的离散变形"建立了重积分到曲线积分的公式"用多种方法推导出任意多边形的面积公式*!关键词"格林公式$多边形面积公式$外积!中图分类号"-%>!!!文献标识码",!!!文章编号"%:;!$%#&##!""&$"%$"%!>$">!!引!!言多边形面积的计算是一个复杂的问题"通常将多边形面积作

2、三角形分割"然后再将各个三角形面积累加起来"计算过程繁琐"但随着顶点的增多显然是不现实的*文章%%&介绍在一定条件下重积分可转化为曲线积分*本文从另一个角度"由推广的0@88C公式也建立起重积分与曲线积分的关系"并用不同思路推导出任意多边形的面积计算公式"公式在求解任意复杂的多边形的面积时与原点位置无关"且效果很好*"!完全离散格林公式推导任意多边形面积公式设’是由分段光滑的曲线围成的单连通区域"函数T!""2#"(!""2#在’!包括M’#上除去有限个奇点外具有一阶连续的偏导数且广义积分收敛"则有下面的格林公式%!&成立M(

3、MT!M"RM#B"B2ETB"Z(B2!!%#.21’M’其中’是单连通区域"M’为区域’的边界曲线"并取正方向!沿区域边界曲线运动"区域始终在边界曲线左侧的方向#!将公式!%#右端项完全离散处理"得’’M(MT!R#B"B2E"TB"Z(B2U"!T!"#"2##0"Z(!"#"2##02#!!!#.M"M2#Q-%M’##Q%’特别令(E""TER2得区域’的面积计算公式’’%+’EB"B2U!T!"#"2##0"Z(!"#"2##02#".!#"Q%’于是可得’%+’E)JU"!"#2#Z%R"#Z%2##"!>#!’

4、&"#Q%其中+E0"!!’Z02!设区域边界M’是由’个点离散的"顶点为T’!#E%"!"("P#围成的P边形"任取一条边T’T’###Z%其内离散点参数方程"即万方数据!!收稿日期"!"">$%"$!<%!#大!学!数!学!!!!!!!!!!!!!!第!%卷+"’E"’Z!"’R"’"L’#P##Z%#P*!!"/L’/%"#’PE’##’#Z%#$#’#Z%!P,2’E2’Z!2’R2’"L’#P##Z%#P由于"’2’Z:R"’Z:2’E!"’2’R"’2’"!L’Z:RL’"#:E"#%#!$#’#Z%R’#PPPP

5、##Z%#Z%#PP所以’R’#S%#!"’2’Z:R"’Z:2’"E!"’2’R"’2’"!"######Z%#Z%#:Q"于是可推导出任意多边形的面积公式设P边形的顶点是T!"#2"##E%#!#$#P#T!顶点T#T#$#T沿多边形边界正方向###PZ%ET%%!#排列"#则多边形’的面积+可以表示为公式%’P%+’E!"#2#Z%R"#Z%2#"!!#"!"#Q%#!半离散格林公式推导任意多边形面积公式将公式!%"右端项半离散处理#得PM(MT.!M"RM2"B"B2E"-TB"Z(B2##Q%M’#’其中’是分段光滑

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7、"#Z%R"#"Z"#!2#Z%R2#""E!"#2#Z%R"#Z%2#"!!"!"#Q%#Q%即得到任意多边形的面积公式P%+’E!"#2#Z%R"#Z%2#"!!;"!"#Q%!其中顶点T!#E%#!#$#P"沿边界M’正方向排列#T"!#PZ%ET%$!利用矢量积推导任意多边形的面积公式设’是P边形!如图%"#顶点T!#E%#!#$#P"沿边界M’正方#向排列#T#坐标依次为PZ%ET%!"#2"#!"#2"#$#!"#2"%%!!PP建立’的多边形区域向量图!由图可知坐标原点与多边形任意相邻的两顶点构成一个三角形#而三

8、角形的面积可由三个顶点构成的两个平面向量的外积求得#当TWWW万方数据&为正方向时#外积值为正!图%#T#Z%第%期!!!!!!!!!!!!罗志强!等"任意多边形面积公式的推导及其应用%!&设向量GWW&TWW&WW&WW&#E!"#"2#""#GT#Z%E!"#Z%"2#Z