任意多边形面积公式推导.doc

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1、任意多边形面积公式推导由坐标计算任意多边形面积，以此用于据三方联测数据计算相应的清淤换填方量、抛石挤淤方量。以下为详细的推导过程设ϑ是m边形（如图1），顶点pk（k=1，2,⋯，m）沿边界∂ϑ正方向排列，pm+1=p1，坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xm，ym）图1建立ϑ的多边形区域向量图由图可知坐标原点与多边形任意相邻的两顶点构成一个三角形，而三角形的面积可由三个顶点构成的两个平面向量的外积求得，当pkpk+1为正方向时，外积值为正，反之，外积值为负。设向量opk=xk，yk，0，opk+1=xk+1，yk+1，0，由向量外积计算得

2、opk×opk+1=0,0，xkyk+1－xk+1yk，所以任意多边形的面积公式为Sϑ=k=1mS∆opkpk+1=12k=1mopk×opk+1=12k=1m（xkyk+1－xk+1yk）