高等数学上册 教学课件 作者 蒋国强第5章D5_4反常积分.ppt

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1、二、无界函数的反常积分第四节定积分积分限是有限数被积函数在积分区间上有界推广一、无穷限的反常积分反常积分(广义积分)反常积分第五章机动目录上页下页返回结束一、无穷限的反常积分引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束定义1.设若存在,则称此极限为f(x)在记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义上的反常积分,机动目录上页下页返回结束则定义(c为任意取定的常数)等式右边只要有一个极限不存在,就称发散.并非不定型,说明:上述定义中若出现它表明该反常积分发散.机动目录上页下页

2、返回结束引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:机动目录上页下页返回结束例1.计算反常积分解:思考:分析:原积分发散!注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.机动目录上页下页返回结束例2.证明积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1时发散.因此,当p>1时,反常积分收敛,其值为当p≤1时,反常积分发散.机动目录上页下页返回结束二、无界函数的反常积分引例:曲线所围成的开口曲边梯形与x轴,y轴和其含义可理解为面积A可记作直线的机动目录上页下页返回结束定义2.设而在点a的右邻域存在,这时称反常积分收敛;如果上

3、述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的反常积分,记作则定义则称此极限为函内无界,机动目录上页下页返回结束而无界点常称为瑕点(奇点).在点c的邻域内无界,则定义机动目录上页下页返回结束若瑕点公式的计算表达式:则也有类似牛–莱若b为瑕点,则若a为瑕点,则则可相消吗?机动目录上页下页返回结束下述解法是否正确:,∴积分收敛例3.计算反常积分解:显然瑕点为a,所以原式例4.讨论反常积分的收敛性.所以反常积分发散.解:机动目录上页下页返回结束例5.证明反常积分证:当q=1时,当q<1时收敛;q≥1时发散.当q≠

4、1时所以当q<1时,该广义积分收敛,其值为当q≥1时,该广义积分发散.机动目录上页下页返回结束例6.讨论反常积分解:的收敛性.机动目录上页下页返回结束内容小结1.反常积分积分区间无限被积函数无界定积分的极限2.两个重要的反常积分机动目录上页下页返回结束P1871(1,2,3,5)作业习题课目录上页下页返回结束