§12.4线性微分方程.ppt

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1、§12．4线性微分方程一、线性方程二、伯努利方程线性方程、齐次线性方程的解法非齐次线性方程的解法伯努利方程、伯努利方程的解法：一、线性方程线性方程：方程叫做一阶线性微分方程．如果Q(x)0，则方程称为齐次的，否则方程称为非齐次的．叫做对应于非齐次线性方程方程的齐次线性方程．下列方程各是什么类型方程？齐次线性方程的解法：两边积分，得这就是齐次线性方程和通解（积分中不再加任意常数）．是变量可分离方程．分离变量得解这是齐次线性方程，分离变量得两边积分得ln

2、y

3、ln

4、x2

5、lnC，方程的通解为yC(x2)．将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u

6、(x)，把非齐次线性方程的解法：设想成非齐次线性方程的通解．代入非齐次线性方程求得于是非齐次线性方程的通解为解这是非齐次线性方程．再求所给方程的通解．把C换成u，即令yu(x1)2，代入所给非齐次线性方程，得先求对应的齐次线性方程的通解．两边积分得lny2ln(x1)lnC，齐次线性方程的通解为yC(x1)2．分离变量得再把上式代入yu(x1)2中，即得所求方程的通解为例3有一个电路如图所示，其中电源电动势为E=Emsinwt(Em、w都是常数)，电阻R和电感L都是常量．求电流i(t)．由回路电压定律得出把EEmsinwt代入上式，得初

7、始条件为i

8、t00．即~ERLKi问题归结为解初值问题由通解公式，得因此，所求函数i(t)为二、伯努利方程伯努利方程：方程叫做伯努利方程．伯努利方程的解法：以yn除方程的两边，得令z=y1-n，得线性方程下列方程是什么类型方程？解以y2除方程的两端，得令zy1，则上述方程成为这是一个线性方程，它的通解为以y1代z，得所求方程的通解为经过变量代换，某些方程可以化为变量可分离的方程，或化为已知其求解方法的方程．两端积分得uln

9、u1

10、xC．以uxy代入上式，得yln

11、xy1

12、C，或xC1eyy1(C1eC)．解令xy

13、u，则原方程化为