黄冈名师2020版高考数学大3.4导数的综合应用课件理新人教A版.ppt

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1、第四节导数的综合应用(全国卷5年12考)考点一　利用导数求函数的零点或方程根的问题【典例】(2019·濮阳模拟)已知函数f(x)=e2x+aex-(a+2)x.(1)讨论f(x)的单调性.(2)是否存在实数a,使得f(x)有三个相异零点?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题可知f′(x)=2e2x+aex-(a+2)=(ex-1)(2ex+a+2).当a+2≥0,即a≥-2时,令f′(x)=0得x=0,易知f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当a<-2时,

2、令f′(x)=0得x=0或当>0,即a<-4时,f(x)在(-∞,0),上单调递增,在上单调递减;当a=-4时,f′(x)=2(ex-1)2≥0,f(x)在R上单调递增;当a∈(-4,-2)时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,在上单调递减.(2)不存在.理由如下:假设f(x)有三个相异零点.由(1)的讨论,一定有a∈(-∞,-4)∪(-4,-2)且f(x)的极大值大于0,极小值小于0.已知取得极大值和极小值时x=0或x=,注意到此时恒有f(0)=a+1<-2+1=-1<0,则必有f(0)为极小值,此

3、时a∈(-4,-2),还需满足f>0，又f=a∈(-4,-2),故存在a使得2-a-4<0,即存在a∈(-4,-2)使得>.令t=∈(0,1),即存在t∈(0,1)满足lnt>1+.令g(t)=lnt-1-,g′(t)=从而g(t)在(0,1)上单调递增,所以g(t)1+,与假设矛盾,从而不存在a使得f(x)有三个相异零点.【规律方法】利用导数研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法.借助导数研究函数的单调性、极值后,通过极值的

4、正负,函数单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.(2)数形结合法求解零点.对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点.①根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的单调区间及极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法.【

5、对点训练】(2018·信阳模拟)已知函数f(x)=4x2+-a,g(x)=f(x)+b,其中a,b为常数.(1)若x=1是函数y=xf(x)的一个极值点,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)若函数f(x)有2个零点,f(g(x))有6个零点,求a+b的取值范围.【解析】(1)函数f(x)=4x2+-a,则y=xf(x)=4x3+1-ax的导数为y′=12x2-a,由题意可得12-a=0,解得a=12,即有f(x)=4x2+-12,f′(x)=8x-,可得曲线在点(1,f(1))处

6、的切线斜率为7,切点为(1,-7),即有曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+7=7(x-1),即为y=7x-14.(2)由f(x)=4x2+-a,导数f′(x)=8x-,当x>时,f′(x)>0,f(x)在上单调递增;当x<0或0

7、得f(x)=-1-b或f(x)=-b都有3个实数解,则-1-b>0,且-b>0,即b<-1且b<,可得b<-1,即有a+b<2.则a+b的取值范围是(-∞,2).考点二　利用导数求解生活中的优化问题【典例】(2018·盐城模拟)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形,且弧分别与边B

8、C,AD相切于点M,N.(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积.(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?【解析】(1)在题图甲中,连接MO交EF于点T设OE=OF=OM=R,在Rt△OET中,因为∠EOT=∠EOF=60°,所以OT=,则MT=OM-OT=.从而BE=MT=,即R=2BE=2.故所得柱体的底面积S=S扇形OEF-S△OEF=πR2-R2sin120°=又所得柱体的高EG=4,所以V=S×EG=-4.答:当BE长为