博弈论教学课件作者 姚国庆 论0-5章电子讲义博弈论-第三章.doc

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1、第三章纳什均衡运用举例1、伯川德模型与古诺模型不同，在伯川德(Bertrand,1883)模型中，垄断厂商选择的策略不是产量而是价格，其他方面与古诺模型类似。该博弈的基本式G={S,u}如下：（1）参与者：n个寡头厂商，N={1,2,…,n}。（2）策略空间：策略为价格pi，策略空间为Si=[0,p^]，p^表示一个充分大的价格。实际上假设价格无穷大也无所谓。（3）偏好和收益函数。寡头厂商的收益函数就是其利润函数，即其中D(pi)表示市场需求函数，m表示选择最低价格的厂商数，如果只有厂商i的价格最低，那么m=1。pi>p-i表示pi

2、大于任意一个其他厂商的价格pj，其他类似。我们不妨从简单的开始，设n=2，ci(qi)=cqi，D(p)=a–p，当p>a时，D(p)=0，a>c。由此可得寡头厂商i的利润函数为。那么伯川德模型的纳什均衡是什么呢？可由如下思路得到寡头厂商i的最优反应对应。考虑三种情况：如果pjpj时，利润为0；显然利润为0好过利润为负。由此得到最优反应对应为Bi(pj)=pi>pj，pj

3、最优反应对应为Bi(pj)=，pj=c。如果pj>c，那么可知pipj时，利润为0，显然这时选择pi

4、可知，当pj>pm时，厂商i的最优策略是pi=pm；当时，厂商i的最优策略是无穷接近pj，即为空集。那么最优反应对应为。总结最优反应对应如下：。利用博弈的对称性，可照葫芦画瓢得寡头厂商j的最优反应对应。两个寡头垄断厂商的最优反应对应如图3-1所示。pipjccpmpmBi(pj)Bi(pj)Bj(pi)Bj(pi)图3-1最优反应对应和纳什均衡根据图3-1，可知伯川德模型存在唯一的纳什均衡(c,c)，即每个寡头厂商的价格等于单位成本c，利润为0，这个结果显著不同于古诺模型，而是等同于完全竞争。现在我们考虑n>2的情况，显然当n越来越

5、大时，伯川德的纳什均衡会发生变化，但利润为0的特性仍然保持不变，即伯川德模型对于厂商数是中性的。而古诺模型中，均衡产量是n的函数，即q*=(a–c)/(n+1)，当n越来越大时，利润越来越接近于0，这时古诺模型收敛于伯川德模型。2、多党竞选又叫豪泰林(Hotelling,1924)模型。为了简单，我们这里先考虑两党制的情况。x*x*-kx*-k图3-2选民的偏好是对称的U假设：保守主张用0来表示，激进主张用1来表示。选民分布在保守主张和激进主张之间，我们不妨设m为[0,1]中的中位数，即[0,m]区间与[m,1]区间上的选民都为半数

6、。一个简单的假设就是选民服从均匀分布。对于任一选民而言，其偏好是选择越接近自己政治主张的候选人效用越高，即如图3-2所示。图3-2中，x*代表选民的政治主张，越接近x*，选民的效用越大。上面我们假设选民的偏好是对称的，即偏向保守还是偏向激进，其效用减少都一样。实际上，选民是否均匀分布，偏好是否对称，对我们的分析来讲并不重要。在这种情况下，两党就需要确定某种政治主张（实际上就是选择位置）以最大限度地吸引选民投它的票，谁获得的选票多谁就获胜。两党争夺选民的情况可以用图3-3来说明。0保守1激进党派1党派2x1x2图3-3两党争夺选民如果

7、党派1的政治主张（策略）为x1，它较偏向于保守主张，所以它能获得保守选民的选票，即得到分布在[0,x1]的选民的支持。由于我们假设选民分布在[0,1]的区间，所以它获得的投票数可用x1来表示。对于党派2而言，它的政治主张为x2，较偏向激进主张，所以它能获得激进选民的选票，即获得分布在[x2,1]的选民的支持。他所获得的投票数可用1－x2来表示。对于分布在[x1,x2]的选民而言，则被两个党派平分，图3-3中的虚线的左边为支持党派1的选民，虚线的右边为支持党派2的选民。显然，在给定党派1的策略x1，党派2的策略x2越接近x1，获得的选

8、民就会越多；对于党派1同样存在这样的情况。那么在这个两党竞选中纳什均衡是什么？该博弈的基本式G={S,u}如下：（1）参与者：党派1定义为1，党派2定义为2，N={1,2}。（2）策略空间：党派1的策略空间为S1=[0,1]，策略；党