已知单调性求参数.doc

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1、极值和最值问题20.(本小题满分13分)设函数.(Ⅰ)若,求的最小值;(Ⅱ)若,讨论函数的单调性.20.解:(Ⅰ)时,,.当时,;当时,.所以在上单调减小,在上单调增加故的最小值为(Ⅱ)若,则,定义域为.,由得,所以在上递增,由得,所以在上递减,所以,,故.所以在上递增.21.(本小题满分14分)已知函数(Ⅰ)当a=1时,试求函数在区间[1,e]上的最大值;(Ⅱ当时,试求函数的单调区向。21.解:(Ⅰ)函数的定义域为.……………1分38当时,,因为,3分所以函数在区间上单调递增,则当时,函数取得最大值.…………………

2、…5分(Ⅱ).………………6分当时,因为,所以函数在区间上单调递减;…7分当时,⑴当时,即时,,所以函数在区间上单调递增;………………9分⑵当时,即时,由解得,,或.……………10分[来源:学.科.网]由解得;………11分所以当时,函数在区间上单调递增;在上单调递减,单调递增.…13分综上所述,当时,函数在区间上单调递减;当时,所以函数在区间上单调递增;当时,在区间上单调递增;在上单调递减,单调递增.…14分38一.极值问题〖例〗设函数,其图像过点(0,1). (1)当方程的两个根分别为是,1时,求f(x)的解析式;

3、 (2)当时,求函数f(x)的极大值与极小值.〖解〗解:由题意可知,f(0)=1所以c=1 (Ⅰ)由得. 因为,即的两个根分别为 所以解得故 (Ⅱ)所以, ①若b>0,则当时,函数f(x)单调递增 当时,函数f(x)单调递减 当时,函数f(x)单调递增 因此,f(x)的极大值为f(0)=c=1,f(x)的极小值为 ②若b<0,则当时,函数f(x)单调递增 当时,函数f(x)单调递减 当时,函数f(x)单调递增 因此,f(x)的极大值为,f(x)的极小值为f(0)=1. 综上所述,当b>0时,f(x)的极大值为1,极小

4、值为, 当b<0时,f(x)的极大值为,极小值为1〖例〗已知函数.38(Ⅰ)若曲线在点处的切线与x轴平行,求a的值;(Ⅱ)求函数的极值.〖解〗解:(Ⅰ). 因为曲线在点处的切线与x轴平行, 所以,即所以 (Ⅱ).令,则或. 当,即时,, 函数在上为增函数,函数无极值点; ②当,即时.+0-0+↗极大值↘极小值↗所以当时,函数有极大值是,当时,函数有极小值是; ③当,即时.+0-0+↗极大值↘极小值↗所以当时,函数有极大值是,当时,函数有极小值是. 综上所述,当时函数无极值; 当时,当时,函数有极大值是,当时,函数有极

5、小值是;当时,当时,函数有极大值是,当时,函数有极小值是.〖例〗设函数,,求函数的单调区间与极值.〖解〗【解题指导】(1)对函数求导,对导函数用辅助角公式变形,利用导数等于0得极值点,通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负,判断区间的单调性,38求极值.22.(本小题满分14分)已知,且,记在内零点为.(1)求当取得极大值时,与的夹角θ.(2)求的解集.(3)求当函数取得最小值时的值,并指出向量与的位置关系.22.(本题满分14分)解(1):,,则单调递增;当,则单调递减.是在内的极大值点……4分此时……6分(2)

6、由(1)知是在内的极大值点.38且.时,且,得时,,即的解集为……9分(3)令20.设函数,,其中,将的最小值记为.(I)求的表达式;(II)讨论在区间内的单调性并求极值.20.(I).由于,,故当时,达到其最小值,即.(II)我们有.列表如下:极大值极小值由此可见,在区间和单调增加,在区间单调减小,极小值为38,极大值为.二:已知单调性求参数取值范围(实质上是求最值问提)19.已知函数(I)求的单调区间与极值;(Ⅱ)若函数上是单调减函数,求实数的取值范围.19.(I)函数的定义域为①当时,,的增区间为,此时无极值;

7、②当时,令,得或(舍去)0极大值的增区间为,减区间为有极大值为,无极小值;③当时,令,得(舍去)或0极大值的增区间为,减区间为有极大值为,无极小值;38(II)由(1)可知:①当时,在区间上为增函数,不合题意;②当时,的单调递减区间为,依题意,得,得;③当时,的单调递减区间为,依题意,得,得综上,实数的取值范围是.法二:①当时,,在区间上为增函数,不合题意;②当时,在区间上为减函数,只需在区间上恒成立.恒成立,〖例〗设函数,其中为正实数.(1)当时,求的极值点;(2)若为上的单调函数,求的取值范围.〖解〗解:①38

8、(1)当时,由得:,解得:, 结合①可得:当时,,为增函数; 当时,,为减函数;当时,,为增函数 所以,是极大值点,是极小值点 (2)若为上的单调函数,是在上不变号,结合①与条件,知 在上恒成立,因此 由此并结合知,〖例〗.[2012·江西卷]已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0.(1

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