高中数学1.3函数的性质教案新人教A版必修.doc

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1、1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时 函数的单调性学习目标要求:1.理解函数单调性的概念;2.掌握判断函数单调性的一般方法;3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值,掌握其应用。一、函数单调性的概念1:增函数(1)定义:设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1

2、D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数,区间D称为函数f(x)的单调递减区间。(2)几何意义:函数f(x)的图象在区间D上是下降的,如图所示:3:单调性与单调区间定义:如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。思考:(1)单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗?不是,由定义中“定义域I内某个区间D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义域的子集,这说明单调性是与“区间”紧密相关的,一个函数在定义域的不同区间可以有不同

3、的单调性。(2)定义中的“x1、x2”具备什么特征?定义中的x1、x2有以下几个特征:一是任意性,即任意取x1,x2,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定x10,减函数有<0二、判断函数单调性的一般方法(1)定义法:利用定义严格判断。一般步骤如下:①取值:任选定义域中同一单调区间D上的自变量值x1,x2,且设x1

4、)的正负为止;变形的主要技巧:A、因式分解:当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解;B、通分:当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解;C、配方:当原函数是二次函数时,作差后可以考虑配方,便于判断符号;D、分子或分母有理化:当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子或分母有理化,如f(x)=④定号:根据变形结果,确定f(x2)-f(x1)的符号;⑤判断:根据x1与x2的大小关系及f(x1)与f(x2)的大小关系,结合单调性定义得出结论。典型例题例1:证明函数f(x)=x+在(0,1)上为减函数。例2:用单调性的定义证明函数在R上是减函数。(2)图象法:作出函

5、数的图象,用数形结合的方法确定函数的单调性。(3)直接法:对于我们所熟悉的函数,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数等。(4)记住几条常用的结论:a.函数y=f(x)与y=-f(x)的单调性相反;b.当f(x)>0或f(x)<0时,函数y=与y=f(x)的单调性相反;c.在公共区间内,“增+增=增”,“减+减=减”,“增-减=增”,“减-增=减”。思考:(1)单调区间的端点值如何取舍?对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减的变化,所以不存在单调性问题,因此在写单调区间时,可以包括区间端点,也可以不包括区间端点,但当函数在某些端点无意义时,单调区间就不能包括这

6、些点。(2)多个单调递增(减)区间之间能否用“∪”连接?不能取这些区间的并集,而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接。三、函数单调性的应用1、已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围。名师导引:(1)二次函数的单调性取决于什么?开口方向(a>0,开口向上;a<0,开口向下)与对称轴(-b/2a)(2)(-∞,4]是函数的单调递减区间吗?可能不是,可能是其子集。解:∵f(x)=x2+2(a-1)x+2,∴此二次函数图象的对称轴为x=1-a,∴f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a],∵f(x)在(-∞,4]上是减函数,∴对称轴x=1-a必须在直线

7、x=4的右侧或与其重合,∴1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范围为(-∞,-3]。思考:“函数f(x)的单调区间是(a,b)”与“f(x)在区间(a,b)上单调”有何不同的含义?前者表明区间(a,b)是其单调区间的全部,而后者表明区间(a,b)是其单调区间的子集。2、(2011~2012学年度广东惠阳高级中学上学期高一第一次段考)函数y=x2-2mx+3在区间[1,3]上具有单调性,则m的范

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