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《复变函数与积分变换教学课件张翠莲第6章 傅立叶变换.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第6章傅立叶变换6.1傅立叶积分6.2傅立叶变换6.3函数及其傅立叶变换6.4傅立叶变换的性质6.1傅立叶积分6.1.1主值意义下的广义积分定义1设函数在实轴的任何有限区间上都可积.若极限存在,则称在主值意义下在区间上的广义积分收敛,记为例1计算为实常数）解我们可以证明为实数)令则例2设计算积分解上式(1)称为函数的复指数形式的傅里叶积分公式,而等号右端的积分式称为的傅里叶积分(简称傅氏积分).从例2可以看出,函数存在如下关系若函数在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：(1）连续或只有有限个第一类间
2、断点(2)至多有有限个极值点）,并且在上绝对可积则有：6.1.2傅氏积分存在定理为连续点为间断点也叫做的傅氏积分表达式6.2.1傅立叶变换的概念6.2傅立叶变换叫做的傅氏变换,象函数,可记做=ℱ[]叫做的傅氏逆变换,象原函数,=ℱ例3求函数的傅氏变换解例4求函数的傅氏变换和傅氏积分表达式.解若上式右端为于是6.2.2傅氏变换的物理意义—频谱称为的频谱函数其模称为的振幅频谱可以证明,频谱为偶函数,即6.3－函数及其傅立叶变换在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有
3、连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.6.3.1函数的定义（1）看作矩形脉冲的极限（2）函数的数学定义（3）物理学家狄拉克给出
4、的定义满足下列两个条件的函数称为函数：ⅠⅡ1函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图o1如下图o定义为满足下列条件的函数6.3.2函数的性质（1）对任意的连续函数,都有（2）函数为偶函数,即（3）其中,称为单位阶跃函数.反之,有.6.3.3函数的傅立叶变换由于=ℱ可见,ℱ[]=1,ℱ-1[1]=.与常数1构成了一个傅氏变换对,即与也构成了一个傅氏变换对,即6.3.4一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对例5可以证明单位阶跃函数的傅氏变换为的积分表达式为例6证明的傅氏变换为证明=ℱ所以例7求正弦函数的傅氏变换可以证明
5、ℱℱ6.4傅立叶变换的性质6.4.1线性性质ℱ=ℱ设为常数则=ℱℱ6.4.2对称性质若=ℱ则以为自变量的函数的象函数为即ℱℱ6.4.3相似性质=ℱ若则ℱℱ6.4.4平移性质 （1）象原函数的平移性质若=ℱ为实常数,则ℱℱ例8求ℱℱ解因为所以ℱ（2）象函数的平移性质若=ℱ为实常数,则ℱℱ例9已知ℱ求ℱ解ℱℱ显然一般地ℱ且则6.4.5微分性质 （1）象原函数的微分性质若=ℱℱ一般地,若ℱ则ℱ例10证明ℱ证明因为所以ℱℱℱ一般地ℱ（2）象函数的微分性质若=ℱ则ℱ或ℱ例11已知ℱ求ℱ解ℱ6.4.6积分性质若=ℱℱ则在这里必须满
6、足傅氏积分存在定理的条件,若不满足,则这个广义积分应改为ℱ6.4.7傅氏变换的卷积与卷积定理1．上的卷积定义若给定两个函数,则积分称为函数的卷积,记为卷积满足下列性质例12对函数计算卷积解所以2．傅氏变换的卷积定理=ℱ=ℱ(1)若则ℱℱ=ℱ=ℱ(2)频谱卷积定理则ℱ若
