复变函数与积分变换教学课件张翠莲第2章解析函数.ppt

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1、第2章解析函数2.1复变函数的导数与微分2.1.1复变函数的导数定义1设函数在包含的某区域内有定义，当变量在点处取得增量时，相应地，函数取得增量若极限（或）（2.1）存在，则称在点处可导，此极限值称为在点处的导数，记作或，即如果函数在区域内每一点都可导，则称在内可导.例1求函数的导数（为正整数）.解因为所以，由导数定义有例2求的导数.解由例12.1.2可导与连续的关系若函数在点处可导，则在点处必连续.证因为知，故在点处连续.2.1.3复变函数的微分定义2称函数的改变量的线性部分为函数在点处的微分，记作或，即当时，，所以在点处的微分又可记

2、为亦即由此可知，函数在点处可导与可微是等价的.2.1.4导数运算法则复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）：（1）其中为复常数；（2）其中为正整数；（3）；（4）（5）；（6）；（7）是两个互为反函数的单值函数，且..例3求下列函数的导数.（1）（2）解（1）（2）例4设.解因为所以第2章解析函数2.2解析函数的概念2.2.1解析函数的定义及其性质1.解析函数的定义定义3如果函数不仅在点处可导，而且在点的某邻域内的每一点都可导，则称在点处解析，并称点是函数的解析点；如果函数在区域内每一点都解析，则称在区域内解析或称为区域内的解析

3、函数，区域称为的解析区域.如果在点处不解析，但在的任一邻域内总有的解析点,则称为的奇点.例1讨论函数的解析性.解由例2知，在整个复平面内处处可导且，则由函数在某区域内解析的定义可知，函数在整个复平面上解析.2.解析函数的运算性质：（1）若函数和在区域内解析，则、、在内也解析；（2）若函数在区域内解析，而在区域内解析，且，则复合函数在内也解析，且..2.2.2函数解析的充要条件定理１设函数在区域内有定义，则在内解析的充分必要条件为在内任一点处（1）可微；（2）满足上式称为柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称C—R

4、条件（或方程）.定理２函数在区域内解析的充要条件为（1）在内连续；（2）在内满足C—R条件，例2讨论函数的可导性，并求其导数.解由得则显然，在复平面内和的偏导数处处连续，且即　　　和　　　处处满足C—R条件且处处可微，所以，　　　　在复平面内处处可导且.例3讨论函数　　　　　的可导性.解因为得显然，、处处具有一阶连续偏导数，但仅当时，、满足C—R条件.因此，仅在点处可导.例4证明在复平面上不可微.证由于，于是，从而显然，对复平面上任意一点，都不满足C—R条件，所以在整个复平面上不可微.例5讨论下列函数的解析性.（1）；（2）；（3）.解

5、（1）设因为且这四个偏导数处处连续，故在复平面上处处解析.（2）因为，设，而所以在复平面上处处不解析．（3）因为设　　　　　　，由于这四个偏导数虽然处处连续，但C—R条件仅在原点处成立，因而函数在复平面内的原点处可导，其它点不可导，可知该函数在复平面上处处不解析.第2章解析函数2.3初等函数及其解析性2.3.1指数函数定义4复变量的指数函数定义为指数函数的一些重要性质：（1）指数函数在整个的有限平面内都有定义，且处处不为零.（2）（3）指数函数是以为周期的周期函数．（4）指数函数　在整个复平面上解析，且有（2）2.3.2对数函数定义5对

6、数函数定义为指数函数的反函数.若　　，则称是的对数函数，记作．对数函数是一个多值函数，每一个对应着多个的值.若令，则上式中的多值函数便成为了单值函数，则称这个单值函数为多值函数的主值，记作，即．例1求.解因为的模为，其辐角的主值为，所以而又因为的模为，而其辐角的主值为，所以复变量对数函数具有与实变量对数函数同样的基本性质：（1）（2）（3）（4）；（5）对数函数的解析性可以证明在除去原点与负实轴的平面内解析，所以的各个分支也在除去原点与负实轴的平面内解析（因的每一个单值连续分支与只相差一个复常数），且2.3.3幂函数定义6设为任意复常数

7、，定义一般幂函数为它是指数与对数函数的复合函数，是多值函数(因是多值的).幂函数的几种特殊情形：（1）当为整数时，，是与无关的单值函数（（为正整数）时，为的次乘方，当（为正整数）时，）；）；（2）当为有理数时（为既约分数，），只有个不同的值，即当取时的对应值，因此，.（3）当为无理数或复数时，有无穷多个值.此时的与根式函数的区别是：是无穷多值函数，而是值函数.幂函数的解析性：（1）当（为正整数）时，在整个复平面内单值解析，且；（2）当（为正整数）时，在除原点的复平面内解析，且（3）当（为整数）时，由于对数函数的各个分支在除去原点和负实轴

8、的复平面内解析，因而的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内也是解析的，且.例2求.解例3求.解例4求.解所以的三个值分别为.2.3.4三角函数定义7设为任一复变量，称与分别为复变量的正弦函数与余弦函数，分别