利用空间向量解决立体几何（高二}.ppt

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1、数量积：夹角公式：异面直线所成角的范围：思考：结论：题型一：线线角小结正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，且AC与BD交于点O，E为棱DD1的中点。求证：B1O⊥平面EAC。zyx解：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0）,B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）E（0，2，1），B1（2，0，2）O是正方形ABCD的中心，O（1，1，0）A1DCBAB1D1C1OE即B1O⊥AC，B1O⊥AE，又ACAE=AB1O⊥平面EAC例一：题型一：线线角所

2、以与所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：所以：题型一：线线角练习：题型一：线线角在长方体中，题型二：线面角直线与平面所成角的范围：思考：结论：题型二：线面角例二：题型二：线面角在长方体中，练习1：的棱长为1.题型二：线面角正方体题型三：二面角二面角的范围：关键：观察二面角的范围题型三：二面角设平面练习2:练习2:练习3:正三棱柱中，D是AC的中点,当时，求二面角的余弦值.CADBC1B1A1解:如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.设底面三角形的边长为a，侧

3、棱长为b则C(0,0,0),故由于,所以∴yxzCADBC1B1A1在坐标平面yoz中∵设面的一个法向量为可取＝（1，0，0）为面的法向量∴练习3:小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角：关键：观察二面角的范围立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行”“垂直”两大类：平行：线面平行、面面平行垂直：线线垂直、线面垂直和面面垂直一、用空间向量处理“平行”问题一、用空间向量处理“平行”问题↑→↑↑RDBCAA1QPNMD1C1B1例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别

4、是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点.求证：MN∥平面AC.M是中点，N是中点MN∥RQMN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1作PP1⊥AB于P1，作MM1⊥AB于M1，连结QP1，作NN1⊥QP1于N1，连结M1N1N1M1P1NN1∥PP1MM1∥AA1又NN1、MM1均等于边长的一半故MM1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1MN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为2，又A1P

5、=BQ=2x则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1)所以向量(-x,x,0)，又平面AC的法向量为(0,0,1)，∴∴又M不在平面AC内，所以MN∥平面ACDCBAD1C1B1A1例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1平行四边形A1BCD1A1B∥D1C平行四边形DBB1D1B1D1∥BD于是平面A1BD∥平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为1

6、，则向量设平面BDA1的法向量为则有x+z=0x+y=0令x=1,则得方程组的解为x=1y=-1z=-1故平面BDA1的法向量为同理可得平面CB1D1的法向量为则显然有即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行所以平面BDA1∥CB1D1通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0，利用解方程组的方法求出平面法向量(在解的过程中可令其中一个未知数为某个数)。※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？DCBAD1C1B1A1FGHE例4.在正方

7、体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.求证：平面AEH∥平面BDGFAD∥GF，AD=GF又EH∥B1D1，GF∥B1D1EH∥GF平行四边形ADGEAE∥DG故得平面AEH∥平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz则求得平面AEF的法向量为求得平面BDGH的法向量为显然有故平面AEH∥平面BDGF二、用空间向量处理“垂直”问题二、用空间向量处理“垂直”问题↑FEXYZ证明:分别以为坐

8、标向量建立空间直角坐标系例6：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a。求证:面AEF面ACF。AFEC1B1A1CBxzyAFEC1B1A1CBzy不防设a=2，则A（0，0，0），B（3，1，0），C（0，2，0），E（3，1，2），F（0，2，4），AE=（3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴面ACF，所以可取面ACF的法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z)